Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 56 стр.

                                                         - 56 -
                                              v ( x0 ) =∫f ( x, x0 ) dx ,                          (17.1)
                                                        D

где f ( x0 , x ) - непрерывная функция переменных ( x0 , x ) ∈D 2 / {( x0 , x0 )}. В
точке x =x0               f ( x0 , x ) терпит разрыв. Если при этом справедлива оценка
                      c
 f ( x0 , x ) ≤            α
                               , 0 <α <3 , то рассматриваемый интеграл сходится
                  x −x0
абсолютно.
     Определение. Интеграл (17.2) называется равномерно сходящимся в
точке x0* , если для любого ε >0 существует δ (ε ) >0 такое, что имеет

место неравенство                   ∫ f ( x , x )dx <ε , для любой точки
                                    Dδ
                                          0                                          x0 : x0* −x0 <δ (ε )

и для любой области Dδ , содержащей x0* и имеющей диаметр d ≤δ (ε ) .
       Теорема 10. Равномерно сходящийся в точке x0* ∈D интеграл (17.1)
есть функция x0 ∈D , непрерывная в точке x0* .
       Доказательство.                    Возьмем произвольное                      ε >0       и выделим
Dδ : x0* ∈Dδ согласно определению равномерной сходимости интеграла
(17.1) в точке x0* . Представим интеграл (17.1) в виде
                  v ( x0 ) = ∫ f ( x0 , x ) dx +       ∫ f ( x , x )dx ≡v ( x ) +v ( x ) .
                                                                  0         1   0      2   0
                               Dδ                    D \ Dδ


       Тогда              v ( x0 ) −v ( x0* ) ≤ v1 ( x0 ) + v1 ( x0* ) + v 2 ( x0 ) −v 2 ( x02 ) . Пусть
x0 ∈Dδ . Тогда, в силу равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке
                         ε                ε
x0* , имеем v1 ( x0 ) ≤ ; v1 ( x0* ) ≤ и, следовательно,
                         4                4
                                          ε
                     v ( x0 ) −v ( x0* ) ≤ + v 2 ( x0 ) −v 2 ( x02 ) . (17.2)
                                          2
        В интеграле v 2 ( x0 ) интегрирование совершается по D \ Dδ , а
x0* ∈Dδ , поэтому v 2 ( x0 ) непрерывна в точке                                 x0* и некоторой ее
окрестности. Следовательно, для всех x0 , достаточно близких к x0* :
                         ε
v 2 ( x0 ) −v 2 ( x02 ) < ,              отсюда          и     из     (17.2)        получаем      оценку
                         2
v ( x0 ) −v ( x02 ) <ε . Теорема доказана.