Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 58 -
(
)
(
)
1
00
v
D
xxxxdx
ρ
−
=−
∫
, (18.1)
где
D
- область без выходов на бесконечность . Положим, что
(
)
x
ρ
ограничена и интегрируема в
D
. Интеграл (18.1) собственный , если
0
xD
∉
. В этом случае функция
(
)
v
x
непрерывна и имеет частные
производные всех порядков. Так как
1
r
- фундаментальное решение
уравнения Лапласа, то
(
)
0
xx
∆
при
3
0
\
xD
∈! . Покажем, что
()
00
v,
A
xRx
R
<=→∞
. Поместим начало координат внутри
D
(см . рис.
15). Тогда
00
xxxx
−≥−
или
rRx
≥−
. Обозначим диаметр области
через
diam
dD
=
. Тогда
rRd
≥−
. Будем считать , что
M
настолько
удалена от
O
, что
2
Rd
>
, т.е.
2
R
d
<
и
2
R
r
>
или
12
rR
<
. Теперь
()
0
2
v()()
DD
dxA
xxxdx
rRR
ρρ
<<=
∫∫
, где
2()
D
Axdx
ρ=
∫
. Таким образом ,
объемный потенциал
(
)
v
x
есть гармоническая функция при
3
\
xD
∈
! .
Пусть теперь
0
xD
∈
. Так как
()x
c
rr
ρ
<
, то интеграл (18.1)
несобственный и сходится .
Теорема 12. Если
()
x
ρ
ограничена и интегрируема в
D
, то
потенциал
(
)
v
x
и его частные производные первого порядка непрерывны
в
3
!
и эти производные могут быть получены дифференцированием под
знаком интеграла.
Доказательство. Покажем вначале, что интегралы
(
)
v
x
и
()
()
()
0
0000
0123123
3
(),1,3,,,,,,
ρ
−
=−===
∫
k
k
D
xkx
Xxxdxkxxxxxxxx
r
, (18.2)
полученные формальным дифференцированием (18.1) по
0
k
x
, равномерно
сходятся в любой точке
*
0
x
. Пусть
*
0
xD
∈
и
0
xDD
δ
∈⊂
. Имеем (если
(
)
*
0
DBx
δδ
⊂ ),
00
,
rxxxD
δ
=−∈
, см . рис. 16:
0
x
O
x
Рис. 15 
                                             - 58 -
                               v ( x0 ) =∫ρ ( x ) x −x0
                                                          −1
                                                               dx ,                        (18.1)
                                         D


где D -          область без выходов на бесконечность. Положим, что ρ ( x )
ограничена и интегрируема в D . Интеграл (18.1) собственный, если
x0 ∉D . В этом случае функция v ( x0 ) непрерывна и имеет частные
производные всех порядков. Так как
                                                                                               x0
1
  -   фундаментальное     решение                             O
r
уравнения Лапласа, то ∆x ( x0 ) при
                                                          x                          Рис. 15
x0 ∈� \ D .
        3
                       Покажем,              что
             A
v ( x0 ) <     , R = x0 → ∞ . Поместим начало координат внутри D (см. рис.
             R
15). Тогда         x −x0 ≥ x0 − x или r ≥R − x . Обозначим диаметр области
через       d =diam D . Тогда r ≥R −d . Будем считать, что M настолько
                                                   R      R                    1 2
удалена от O , что R >2d , т.е. d <                  и r>             или       < . Теперь
                                                   2      2                    r R
                     dx 2           A
v ( x0 ) <∫ρ( x)       < ∫ρ( x) dx = , где                A =2 ∫ρ( x ) dx . Таким образом,
             D        r RD          R                             D

объемный потенциал v ( x0 ) есть гармоническая функция при x ∈�3 \ D .
                                                          ρ( x ) c
        Пусть       теперь     x0 ∈D . Так как                  < , то интеграл (18.1)
                                                           r     r
несобственный и сходится.
     Теорема 12. Если ρ( x) ограничена и интегрируема в D , то
потенциал v ( x0 ) и его частные производные первого порядка непрерывны
в �3 и эти производные могут быть получены дифференцированием под
знаком интеграла.
     Доказательство. Покажем вначале, что интегралы v ( x0 ) и
                      x 0 k −xk
  X k ( x0 ) =−∫ρ( x)        3
                                dx, k =1,3, x 0 =( x10 , x20 , x30 ) , x =( x1 , x2 , x3 ) , (18.2)
               D
                           r
полученные формальным дифференцированием (18.1) по xk0 , равномерно
сходятся в любой точке x0* . Пусть x0* ∈D и x0 ∈Dδ ⊂ D . Имеем (если
Dδ ⊂ Bδ ( x0* ) ), r = x0 −x , x0 ∈Dδ , см. рис. 16:

Страницы