Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 59 -
()
()
*
20
0
22
2
0
000
()
sin80
DBx
Bx
xdxdx
dxcccrdrddc
rrr
δδ
δ
πππ
δ
ρ
θθϕπδ
→
<<==⋅→
∫∫∫∫∫∫
,
причем стремление к нулю в последней
оценке независимо от точки
*
0
x
, т.е.,
выбирая по заданному
0
ε
>
число
c
ε
δ
π
= (не зависящее от выбора
*
0
x
),
мы убеждаемся в равномерной сходимости
интеграла (18.1) в произвольной точке
*
0
xD
∈
. Повторяя аналогичные
рассуждения для
(
)
0
k
Xx
, получим
()
20
0
3220
1
()80
kk
DDBx
xx
dx
xdxcdxcc
rrr
δδδ
δ
ρπδ
→
−
≤<=→
∫∫∫
,
если
()
8
c
ε
δδε
π
<=. Отсюда следует равномерная сходимость
(
)
0
v
x
и
(
)
0
k
Xx
. При доказательстве мы использовали лишь ограниченность
(
)
x
ρ
,
поэтому интегралы (18.1) и (18.2) непрерывны в точках разрыва
(
)
x
ρ
.
Точки границы области можно рассматривать как точки разрыва функции
(
)
x
ρ
, равной нулю вне
D
. Следовательно ,
(
)
0
v
x
и
(
)
0
k
Xx
непрерывны
во всем
3
!
.
Докажем теперь , что
()
(
)
0
00
0
v
,1,3,
k
k
x
XxkxD
x
∂
==∈
∂
. Пусть
(
)
000
011230
,,,
xxxxxrxx
=+∆=−
%%%
. Рассмотрим разность
(
)
(
)
()
0
00
10
3
11
vv
111
()()
DD
xx
xx
IXxxdxxdx
xxrrr
ρρ
−
−

=−=−−

∆∆

∫∫
%
%
(18.3)
и покажем, что она стремится к нулю при
1
0
x
∆→
. Рассмотрим
(
)
0
BxD
δ
⊂
, так что
(
)
1
20
\
DDBx
δ
=
. Разложим функции
()
(
)
(
)
()()
()
2
10
01020
vvv;
δ
ρρ
=+=+
∫∫
x
BD
xx
xdxdxxx
rr
2δ
0
x
δ
x
Рис. 16 
                                                     - 59 -

                                                     2π π 2 π
     ρ( x )           dx               dx
  ∫   r
            dx 0      число
      ε                                                                 2δ     x0      δ
δ=         (не зависящее от выбора x0* ),
     8π c                                                                              x
мы убеждаемся в равномерной сходимости
интеграла (18.1) в произвольной точке
x0* ∈D .          Повторяя                     аналогичные                                   Рис. 16

рассуждения для X k ( x0 ) , получим

                        xk0 −xk          1                   dx
             ∫
             Dδ
                ρ ( x )
                            r3
                                dx ≤c ∫r 2
                                      Dδ
                                           dx

Страницы