Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 60 стр.

                                                                  - 60 -
                                x 0 −x       x 0 −x
         X 1 ( x0 ) =− ∫ ρ( x ) 3 dx + ∫ρ( x) 3 dx =X 11 ( x0 ) +X 12 ( x0 ). .
                      Bδ ( x0 )
                                   r   D2
                                                r
                                1


        Разность (18.3) можно записать в виде
                                v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )
                                          � v ( x ) −v 2 ( x0 )    �
                           I=     −X 11 +� 2 0                  −X �12 . (18.4)
                          ∆x1              �      ∆ x1               �
     Оценим в отдельности каждое из слагаемых в правой части (18.4),
считая x0 ∈Bδ1 ( x0 ) . Мы имеем (т.к. r −r ≤ ∆x1 ):
          v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )                1                   � 1 1�                  ρ ( x ) r −r
                                                          (   )
                                             ∆x1 Bδ ∫                              ∫x ∆x1 ⋅ rr dx ≤
                                         =              ρ   x          −
                                                                   � r � r dx ≤
                       ∆x1                          ( )
                                                     x          �       �       Bδ1 ( 0 )
                                                   1 0


                                                         dx c             � 1 1�
                                         ≤c       ∫
                                              Bδ1 ( x0 )
                                                            ≤ ∫ � 2 + � 2 dx .
                                                         rr 2 Bδ ( x0 ) � r  r�
                                                                 1


                                                                             dx
        ∫r                                      ∫                     ∫
                  −2
Но                     dx =4πδ1 ;                         r 2 dx <               =8πδ1 , следовательно,
     Bδ1 ( x0 )                              Bδ1 ( x0 )               ( )
                                                                  Bδ1 x 0
                                                                             r 2

                                                      v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )
                                                                                <6πδ1 .                                    (18.5)
                                                                ∆x1
        Оценим X 11 ( x0 ) :
                                                   2π π 1                         δ
                                      xk0 −xk
                  X ( x0 ) = ∫ ρ( x)
                       1
                       1                    3
                                              dx 0 и возьмем радиус δ1 шара Bδ1 ( x0 ) столь
                     ε
малым, чтобы 6π cδ1 < . Тогда для любого x0 ∈Bδ1 ( x0 ) :
                     3
                                         v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )                ε ε 2ε
                                                                      −X 11 < + = .                                        (18.7)
                                                     ∆x1                     3 3 3
                                                                                                v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )
        Для третьего слагаемого в (18.4) имеем lim                                                                     =X 12 , т.к.
                                                                                      ∆x1 → 0          ∆x1
x 0 и x0 лежат вне D2 . Следовательно, для любого ε >0 можно указать
такое δ2 >0 , что из оценки                                       ∆x1 <δ2 ≤δ1                   следует         неравенство
 v1 ( x0 ) −v1 ( x0 )               ε
                             −X 12 < , отсюда в силу (18.7), (18.4):
          ∆x1                       3