Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 62 стр.

                                                               - 62 -
                                                                                                        ∂ρ
правой части (18.8) есть объемный потенциал с плотностью                                                    ∈C ( D ) и,
                                                                                                        ∂x1
по предыдущей теореме 12 существуют его первые производные,
                                                                                  ∂ v ( x0 )
непрерывные во всем �3 . Следовательно,                                                         имеет непрерывные
                                                                                       ∂x01
первые производные при                                    x0 ∈Bδ ( x0* ) .        Аналогичные рассуждения,
                                        ∂ v ( x0 )       ∂ v ( x0 )
примененные                   к                      ,                ,       доказывают,         что    существуют
                                            ∂x02           ∂x03
                             ∂ � ∂ v ( x0 � )
производные                        �
                            ∂x0 j � ∂x0 k �
                                                       *
                                                           (              )
                                            � ∈C Bδ ( x0 ) . В силу произвола выбора x0 ∈D
                                                                                      *




получаем утверждение теоремы о том, что                                                        v ∈C 2 ( D ) . Докажем
удовлетворение                    v ( x0 ) уравнению Пуассона. Интеграл                                 v1 ( x0 ) есть
гармоническая функция при x ∈Bδ ( x0* ) , т.е. ∆ v1 ( x0 ) =0 при x ∈Bδ ( x0* ) ,

следовательно,                    ∆ v =∆ v 0 при                  x ∈Bδ ( x0* ) . Воспользовавшись этим,

вычислим ∆ v ( x0* ) при x0 =x0∗ из (18.8)
                           � ∂ρ ( x )        ∂ � 1�   ∂ρ ( x ) ∂� � 1  ∂ρ ( x ) ∂ � 1� �
∆ v ( x0* ) =       ∫ ��                ⋅        � � +        ⋅ � �   +        ⋅   � � � dx −
                    ( )
                  Bδ x0*
                              ∂x1           ∂x01 � r�  ∂x2 ∂x� 02� r    ∂x3 ∂x03 � r� �
                                                                                                                  (18.
            � ∂ � 1�                     ∂� � 1                 ∂ � 1�               �
− ∫ ρ(x)�            � � cos (n, x1 ) + � �      cos (n, x2 ) +      � � cos (n, x3 )� ds.
 Sδ ( x0* )  � ∂x01 � r�               ∂x� 02� r               ∂x03 � r�               �
9)
Величина ∆ v ( x0* ) не зависит от выбора δ >0 . Устремим δ к нулю. Пусть

                  ∂ρ( x)                                                        ∂      � 1�     xk −x0*k   1
m =max                            (δ0 >δ ) . Учитывая, что                              � �   =          ≤    , имеем
     Bδ0 ( x0 )    ∂xk                                                         ∂x0 k     � r�      r3      r2
                                     δπ 1                             2π
          ∂ρ( x) ∂ � 1�            1
  ∫* ∂xk ⋅ ∂x0k �� r�� ≤m ∫* r 2 dx ≤∫∫∫   sin θdrdθdϕ =4πδm → 0                                                  при
Bδ ( x0 )                Bδ ( x0 )   0 0 0


δ → 0.
Следовательно, объемный интеграл в (18.8) стремится к нулю при δ → 0 .
                                                            ∂    ∂
     Рассмотрим поверхностный интеграл в (18.9). Так как       =   для
                                                            ∂n ∂r
сферы, то