Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 63 -
() ()
()
() () ()
123
010203
101202303
123
333
111
cos,cos,cos,
cos,cos,cos,
nxnxnx
xrxrxr
xxxxxx
nxnxnx
rrr
∂∂∂

++=

∂∂∂

−−−
=++=
()() ()
222
123
222
0
111
cos,cos,cos,,
nxnxnx
rrr

=++==

где
*
00
=−
.
Следовательно , интеграл по
(
)
*
0
Sx
δ
в (18.9) может быть записан в
виде
()
()
*
0
2
.
1
()4
тосреднем
Sx
xdsx
δ
δ
ρπρ
δ
=
∫
, при некотором
0
()
xBx
δδ
∗
∈ . При
0
δ
→
*
0
xx
δ
→ , поэтому, переходя к пределу в (18.9), имеем
(
)
(
)
**
00
v4
xx
πρ∆=− , что требовалось доказать . Теорема доказана .
Замечание. Если
(
)
(
)
1
()
fxCDCD
∈ I , то уравнение Пуассона
(
)
(
)
00
v
xfx
∆=−
имеет частное решение
()
00
11
v(),
4
D
xfxdxrxx
rπ
=⋅=−
∫
.
§ 19. Поверхности Ляпунова
Для того чтобы строго изучить свойства потенциалов простого и
двойного слоя , необходимо подчинить ряду требований те поверхности , на
которых расположены эти слои .
Определение. Будем называть замкнутую поверхность
S
поверхностью Ляпунова, если
1. В каждой точке
S
существует касательная плоскость .
2. Существует
0
0
d
>
такое, что для любых
0
,
xS
∈
(
)
00
,0
d
Sxdd
<≤
сфера
(
)
0
d
Sx
делит
S
на две части , одна из которых заключается
внутри
(
)
0
d
Sx
, а другая вне
(
)
0
d
Sx
и прямые, параллельные
нормами к
S
в точке
0
x
пересекают часть
S
, находящуюся внутри
(
)
0
d
Sx
не более, чем в одной точке.
3. Если
θ
-острый угол, образованный нормалями к
S
в двух ее точках
1
x
и
2
x
и
1212
rxx
=−
, то существуют постоянные
(
)
,01
a
αα
<<
,
не зависящие от
12
,
xx
, такие что для любых
12
,
xxS
∈
имеет место
оценка
1,2
ar
α
θ≤
. 
                                                      - 63 -
              ∂ �          1�                  �∂ � 1                 ∂ �     1�
                  �          � cos (n, x1 ) + � �      cos (n, x2 ) +     �     � cos (n, x3 ) =
             ∂x01 �         r�               ∂x� 02� r               ∂x03 �    r�
               x1 −x01                 x −x                     x −x
             =      3
                        cos (n, x1 ) + 2 3 02 cos (n, x2 ) + 3 3 03 cos (n, x3 ) =
                  r                       r                        r
        1                                                        1    1
       = 2 �� cos 2 (n, x1 ) +cos 2 (n, x2 ) +cos 2 (n, x3 )�� = 2 = 2 , где r0 = x0* −x .
        r                                                        r   r0
        Следовательно, интеграл по Sδ ( x0* ) в (18.9) может быть записан в
          1
виде                  ∫ ρ( x)ds           = 4πρ ( xδ ) , при некотором               xδ ∈Bδ ( x0∗) . При
          δ2                        т.о среднем
                      ( )
                  Sδ x0*


δ→ 0                    xδ → x0* , поэтому, переходя к пределу в (18.9), имеем
∆ v ( x0* ) =−4πρ ( x0* ) , что требовалось доказать. Теорема доказана.

        Замечание.                 Если                ( )
                                             f ( x) ∈C D  C1 ( D ) , то уравнение Пуассона
∆ v ( x0 ) =−f ( x0 )                                 имеет              частное               решение
              1                1
v ( x0 ) =        ∫f ( x) ⋅ r dx ,      r = x −x0 .
             4π   D


                                      § 19. Поверхности Ляпунова

     Для того чтобы строго изучить свойства потенциалов простого и
двойного слоя, необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на
которых расположены эти слои.
     Определение. Будем называть замкнутую поверхность S
поверхностью Ляпунова, если
1.    В каждой точке S существует касательная плоскость.
2.   Существует d0 >0 такое, что для любых x0 ∈S , S d ( x0 ) , 0

Страницы