Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 64 стр.

                                                       - 64 -
      Пояснения. Условие 1 дает возможность в каждой точке x0 ∈S
построить местную прямоугольную систему координат с полюсом в
x0 ∈S , так что переменные x1 и x2 лежат в касательной плоскости, а
переменная
 x3 изменяется в направлении внешней нормали.
     Условие 2 показывает, что в этой местной системе уравнение части
поверхности S может быть (локально, внутри Sd ( x0 ) ) представлено в виде
x3 = f ( x1 , x2 ) . Для упрощения записи, если                                  x =( x1 , x2 , x3 ) ∈S , будем
обозначать его координаты x =(ξ ,η , ς ) , где ς = f (ξ ,η ) , если x ∉S , то
будем его координаты обозначать по-прежнему x =( x1 , x2 , x3 ) .
      Из     условия               3      следует,       что           частные      производные           fξ/ , fη/ ,
существование которых обеспечено условием 1, являются непрерывными
функциями ξ и η . В дальнейшем будем считать, что d 0 взято достаточно
малым. Например, можно принять условие ad α ≤1, так что угол θ0 между
                                                                                                               π
нормалью в любой точке x ∈S  Bd ( x0 ) и нормалью в x0 не достигает                                             .
                                                                                                               2
Обозначая r0 = x −x0 , r0 ≤d , имеем
                                                               1        1
                                  cos θ        ≥            1 − θ02 ≥1 − a 2 r02α ,
                                          из разложения в      2        2
                                           знакочеред . ряд

                                        n1n2    1 ⋅1 +0 ⋅ fξ +0 ⋅ fη
откуда, так как cosθ0 =                        =                     , то
                                       n1 ⋅ n2   1 ⋅ 1 + fξ2 + fη2

                                               ≤(1 +x 2 ) (1 +a 2 r02α ) ≤2 .
           1                           1                 −1
               = 1 + fξ2 + fη2 ≤
         cosθ0                     � 1 2 2α�
                                � 1 − a r0 �
                                 �   2       �
Следовательно, в силу условия ad α ≤1: fξ2 + fη2 ≤2a 2 r02α +a 4 r04α ≤3a 2 r02α ,
откуда            fξ ≤ 3ar0α ; fη ≤ 3ar0α .                     Вводим           полярные         координаты:

                                          (
ξ =ρ0 cos ϕ ; η =ρ0 sin ϕ ρ0 = ξ 2 +η 2 . Имеем                )
                              2
             �        ∂ �
                                  =( fξ cos ϕ + fη sin ϕ ) ≤ fξ2 + fη2 ≤ 3ar0α ,     (       )
                                                                   2                          2
                 �       ς�
                   � ∂ρ0 �
         �  ∂ �
то есть �      ς
         � ∂ρ0 �
                         α
                          (            )
                 � ≤ 3ar0 , или более грубую оценку ςρ0 ≤ 3                                         (ar0
                                                                                                        α
                                                                                                            ≤1) ,