Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 65 -
откуда
(
)
(
)
0
30,00
бςρς
≤=
. Но
22
0000
2
r
ρςρ
=+≤
. Из неравенства
0
3
ar
α
ρ
ς ≤ имеем
0
0
32a
αα
ρ
ςρ
≤ , откуда
1
0
32
1
a
α
α
ςρ
α
+
⋅
≤
+
, или , тем
более,
1
0
2a
α
ςρ
+
≤
, так как
21
α
α
≤+
при
1
α
≤
. Из оценок
22
00
1
cos1
2
ar
α
θ ≥− и
00
2
r
ρ
≤
имеем
222122
000
1
1cos2
2
ara
ααα
θρ
−
−≤≤ .
Оценим
(
)
cos,
k
nx
.
()
100
22
cos,332
1
f
nxfara
ff
ξ
ααα
ξ
ξη
ρ
=≤<<⋅⋅⋅
++
.
Аналогично ,
(
)
20
cos,32nxa
αα
ρ
<⋅⋅⋅
. Мы, кроме того, имеем
оценку
()
30
1
cos,cos
2
nx θ
=≥
.
Выпишем вместе все ранее полученные оценки
() () ()
12
00330
1
;cos,,1,2;cos,;1cos,
2
ααα
ςρρρ
+
≤≤=≥−≤
k
cnxcknxnxc
, (19.1)
где
c
- постоянная , наибольшая из всех , входящих в соответствующие
оценки. Указанные оценки сохраняются при замене в правых частях
0
ρ
на
0
r
.
§ 20. Потенциал двойного слоя
Рассмотрим потенциал двойного слоя, распределенный на
поверхности Ляпунова, с непрерывной плотностью
()
x
µ
(рис. 17)
()
0
2
1cos
w()()
SS
xxdsxds
nrr
ϕ
µµ
∂

=−=

∂

∫∫
.
При
0
xS
∉
существуют все
(
)
0
0
w
k
x
Dx
.
Покажем, что при
0
x
→∞
:
(
)
0
w0
x
⇒
.
Возьмем начало координат внутри
области :
OD
∈
. Тогда
0
rxx
>−
.
Обозначим max;
xS
LxrRL
∈
=≥−
, где
0
Rx
=→∞
. Пусть
0
x
настолько
удалено , что
2
R
r
≥
или
12
rR
≤
. Тогда, обозначив
S
Ads
µ
=
∫
, имеем оценку
D
3
x
x
n
O
2
x
ϕ
r
0
xD∈
0
xD∉
SD=∂
Рис. 17 
                                              - 65 -
откуда     ς ≤ 3ρ0 б       (ς (0, 0 ) =0 ) . Но    r0 = ρ02 +ς02 ≤2 ρ0 . Из неравенства

             α                            α   3 ⋅ 2α
                                              α
ςρ0 ≤ 3ar имеем ςρ0 ≤ 3a 2 ρ , откуда ς ≤
            0                                 0      a ρ0α +1 , или, тем
                                              α +1
более,    ς ≤2a ρ0α +1 , так как 2α ≤α +1 при     α ≤1 . Из оценок
          1                                    1
cosθ0 ≥1 − a 2 r02α и r0 ≤2 ρ0 имеем 1 −cosθ0 ≤ a 2 r02α ≤22α −1 a 2 ρ02α .
          2                                    2
      Оценим cos (n, xk ) .
                              fξ
        cos (n, x1 ) =                   ≤ fξ < 3ar0α < 3 ⋅ a ⋅ 2α ⋅ ρ0α .
                         1+f +f
                              ξ
                               2
                                    η
                                     2



       Аналогично,         cos (n, x2 ) < 3 ⋅ a ⋅ 2α ⋅ ρ0α . Мы, кроме того, имеем
                                      1
оценку cos (n, x3 ) = cosθ0 ≥ .
                                      2
     Выпишем вместе все ранее полученные оценки
                                                           1
 ς ≤c ρ0α +1 ; cos (n, xk ) ≤c ρ0α , k =1,2; cos (n, x3 ) ≥ ;1 −cos (n, x3 ) ≤c ρ02α , (19.1)
                                                           2
где c - постоянная, наибольшая из всех, входящих в соответствующие
оценки. Указанные оценки сохраняются при замене в правых частях ρ0 на
r0 .

                            § 20. Потенциал двойного слоя

     Рассмотрим потенциал двойного слоя, распределенный                                        на
поверхности Ляпунова, с непрерывной плотностью µ( x) (рис. 17)
                    ∂ � 1�            cos ϕ
w ( x0 ) =−∫µ( x)       � � ds =∫µ( x) 2 ds
            S       ∂n � r�     S      r                                       D
.                                                               x3                   x

При x0 ∉S существуют все Dxk0 w ( x0 ) .
                                                                                               n
                                                            O         x2             ϕ

                                      w ( x0 ) ⇒ 0 .
                                                                               r
Покажем, что при x0 → ∞:
                                                                     x0 ∈D           x0 ∉D
Возьмем начало координат внутри
                                                                             S =∂D
области: O ∈D . Тогда  r > x0 − x .                                                  Рис. 17

Обозначим L =max x ; r ≥R −L , где R = x0 → ∞ . Пусть x0 настолько
                     x∈S

                    R    1 2
удалено, что r ≥      или ≤ . Тогда, обозначив A =∫µ ds , имеем оценку
                    2    r R                      S

Страницы