Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 67 стр.

                                                        - 67 -

где           использована             оценка           из
                                                           1
                                                cos n, x3 ≥ . Отсюда
                                                           2
                                                                 (19.1):    (     )
                                           cos ϕ
следует сходимость (2 −α <2 ) интеграла ∫µ 2 0 ds , а следовательно, и
                                        σ0
                                             r0
w ( x0 ) , когда x0 ∈S . Если                        x0 =x* ∈S , то значение интеграла w ( x0 )
называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь
x0 ∈S и пусть                  x0 → x* ∈S . Если при этом приближении существует
 lim* w ( x0 ) , то будем говорить, что w ( x0 ) принимает в точке x*
x0 → x ∈S

предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала
двойного слоя, вообще говоря, не совпадают.
     Далее мы покажем, что предельные значения потенциала двойного
слоя w ( x0 ) , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или
изнутри стремится точка x0 к x* ∈S и эти предельные значения не
совпадают с прямыми значениями.
     Применим основную формулу теории гармонических функций (13.8)
                     1                             ∂ � 1�
при µ ( x ) ≡1, L =      , обозначив w1 ( x0 ) =−∫ � � ds . Получим
                    4π r                         S ∂n � r�
                                                 � 0 , x0 ∉Di ;
                                                  �
                                     w1 ( x0 ) =� 2π , x0 ∈S ;                            (20.1)
                                                    � 4π , x ∈D .
                                                     �      0  i

            Интеграл w1 ( x0 ) называется интегралом Гаусса. В дальнейшем
будем предполагать, что
                                           ∫cos ϕ
                                           S
                                                       r −2 ds ≤K ,                       (20.2)

что является ограничением на поверхность S .
     Теорема 14. Потенциал двойного слоя w ( x0 ) имеет пределы
w i = lim
        *
          w ( x0 ) , w e = lim
                             *
                               w ( x0 ) , причем имеют место формулы
        x0 → x ∈S ,                    x0 → x ∈S ,
        x0∈Di                          x0∉Di

                                           cos ϕ0
                      w e ( x* ) =∫µ( x)       2
                                                  ds −2πµ ( x* ) =w ( x* ) −2πµ ( x* );
                                 S           r0
                                                                                          (20.3)
                                       cos ϕ
                      w i ( x ) =∫µ( x) 2 0 ds +2πµ ( x* ) =w ( x* ) +2πµ ( x* ) ,
                           *

                                 S       r0
        �
где ϕ0 =r0 , n .