Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 69 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

- 69 -
Пусть
*
0
xx
изнутри
S
. Тогда
(
)
(
)
(
)
*
0
**
00
limww4
xx
xxx
πµ
=+
.
Пусть в формуле представления
(
)
*
00
w
=∈
. Тогда, в силу
формулы (20.5) и интеграла Гаусса
(
)
(
)
(
)
***
0
ww2
xxx
πµ=+ . Сравнивая
два последних представления, имеем
(
)
(
)
(
)
***
0
ww2
i
xxx
πµ=+ .
Пусть теперь
*
0
xxS
→∈
извне
S
. Аналогично получим
(
)
(
)
(
)
*
0
**
00
limwww
e
xx
xxx
==
, откуда
(
)
(
)
(
)
***
ww2
e
xxx
πµ=− .
Теорема доказана.
§ 21. Потенциал простого слоя
Потенциал простого слоя
()
00
()
,
S
x
uxdSrxx
r
µ
==−
распределен
по поверхности Ляпунова
S
. Очевидно , что во всех точках
3
0
\
xS
!
потенциал простого слоя
(
)
0
ux
имеет производные любого порядка и
удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае
потенциала двойного слоя, доказывается , что
()
0
1
uxO
R

=


, где
0
Rx
=→∞
.
Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью
(
)
x
µ
есть функция непрерывная во всем пространстве
3
!
.
Доказательство. Уже отмечалось , что
(
)
0
ux
непрерывен во всех
3
0
\
xS
!
. Покажем, что
(
)
0
ux
непрерывен и при
0
xS
. Для этого нужно
доказать , что интеграл
()
0
()
S
x
uxds
r
µ
=
сходится равномерно в точках
поверхности
S
. Пусть
*
x
- произвольная точка поверхности
S
. В точке
*
x
построим местную систему координат , как указано выше. Пусть
0
ε
>
-
заданное число и
1
σ
часть поверхности
S
, определенная условием
222
1
d
ξη
+≤
, (
1
,
4
d
d
α
- из определения поверхности Ляпунова).
Покажем, что можно выбрать
1
d
настолько малым, чтобы при любом
положении
0
x
в некоторой окрестности
*
x
выполнялось неравенство
                                           - 69 -
      Пусть x0 → x* изнутри S . Тогда lim* w ( x0 ) =w 0 ( x* ) +4πµ ( x* ) .
                                               x0 → x

      Пусть в формуле представления w ( x0 )                 x0 =x* ∈S . Тогда, в силу
формулы (20.5) и интеграла Гаусса w ( x* ) =w 0 ( x* ) +2πµ ( x* ) . Сравнивая

два последних представления, имеем w i ( x* ) =w 0 ( x* ) +2πµ ( x* ) .
      Пусть теперь x0 → x* ∈S извне S . Аналогично получим
       lim w ( x0 ) =w e ( x* ) =w 0 ( x* ) , откуда w e ( x* ) =w ( x* ) −2πµ ( x* ) .
       x0 → x*

      Теорема доказана.

                          § 21. Потенциал простого слоя

                                          µ( x )
      Потенциал простого слоя u ( x0 ) =∫        dS , r = x −x0               распределен
                                        S
                                           r
по поверхности Ляпунова S . Очевидно, что во всех точках x0 ∈�3 \ S
потенциал простого слоя           u ( x0 ) имеет производные любого порядка и
удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае
                                                         � 1�
потенциала двойного слоя, доказывается, что u ( x0 ) =O � � , где
                                                          � R�
R = x0 → ∞.
      Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью
µ ( x ) есть функция непрерывная во всем пространстве �3 .
      Доказательство. Уже отмечалось, что                 u ( x0 ) непрерывен во всех
x0 ∈�3 \ S . Покажем, что u ( x0 ) непрерывен и при x0 ∈S . Для этого нужно
                                   µ( x )
доказать, что интеграл u ( x0 ) =∫        ds сходится равномерно в точках
                                 S  r
поверхности S . Пусть x* - произвольная точка поверхности S . В точке x*
построим местную систему координат, как указано выше. Пусть ε >0 -
заданное число и σ1 −часть поверхности S , определенная условием
                    d
              ( d1 ≤ , α - из определения поверхности Ляпунова).
ξ 2 +η 2 ≤d12 ,
                    4
Покажем, что можно выбрать d1 настолько малым, чтобы при любом
положении x0 в некоторой окрестности x* выполнялось неравенство