ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 69 -
Пусть
*
0
xx
→ изнутри
S
. Тогда
(
)
(
)
(
)
*
0
**
00
limww4
xx
xxx
πµ
→
=+
.
Пусть в формуле представления
(
)
*
00
w
xxxS
=∈
. Тогда, в силу
формулы (20.5) и интеграла Гаусса
(
)
(
)
(
)
***
0
ww2
xxx
πµ=+ . Сравнивая
два последних представления, имеем
(
)
(
)
(
)
***
0
ww2
i
xxx
πµ=+ .
Пусть теперь
*
0
xxS
→∈
извне
S
. Аналогично получим
(
)
(
)
(
)
*
0
**
00
limwww
e
xx
xxx
→
==
, откуда
(
)
(
)
(
)
***
ww2
e
xxx
πµ=− .
Теорема доказана.
§ 21. Потенциал простого слоя
Потенциал простого слоя
()
00
()
,
S
x
uxdSrxx
r
µ
==−
∫
распределен
по поверхности Ляпунова
S
. Очевидно , что во всех точках
3
0
\
xS
∈ !
потенциал простого слоя
(
)
0
ux
имеет производные любого порядка и
удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае
потенциала двойного слоя, доказывается , что
()
0
1
uxO
R
=
, где
0
Rx
=→∞
.
Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью
(
)
x
µ
есть функция непрерывная во всем пространстве
3
!
.
Доказательство. Уже отмечалось , что
(
)
0
ux
непрерывен во всех
3
0
\
xS
∈ !
. Покажем, что
(
)
0
ux
непрерывен и при
0
xS
∈
. Для этого нужно
доказать , что интеграл
()
0
()
S
x
uxds
r
µ
=
∫
сходится равномерно в точках
поверхности
S
. Пусть
*
x
- произвольная точка поверхности
S
. В точке
*
x
построим местную систему координат , как указано выше. Пусть
0
ε
>
-
заданное число и
1
σ
−
часть поверхности
S
, определенная условием
222
1
d
ξη
+≤
, (
1
,
4
d
d
α
≤ - из определения поверхности Ляпунова).
Покажем, что можно выбрать
1
d
настолько малым, чтобы при любом
положении
0
x
в некоторой окрестности
*
x
выполнялось неравенство
- 69 - Пусть x0 → x* изнутри S . Тогда lim* w ( x0 ) =w 0 ( x* ) +4πµ ( x* ) . x0 → x Пусть в формуле представления w ( x0 ) x0 =x* ∈S . Тогда, в силу формулы (20.5) и интеграла Гаусса w ( x* ) =w 0 ( x* ) +2πµ ( x* ) . Сравнивая два последних представления, имеем w i ( x* ) =w 0 ( x* ) +2πµ ( x* ) . Пусть теперь x0 → x* ∈S извне S . Аналогично получим lim w ( x0 ) =w e ( x* ) =w 0 ( x* ) , откуда w e ( x* ) =w ( x* ) −2πµ ( x* ) . x0 → x* Теорема доказана. § 21. Потенциал простого слоя µ( x ) Потенциал простого слоя u ( x0 ) =∫ dS , r = x −x0 распределен S r по поверхности Ляпунова S . Очевидно, что во всех точках x0 ∈�3 \ S потенциал простого слоя u ( x0 ) имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае � 1� потенциала двойного слоя, доказывается, что u ( x0 ) =O � � , где � R� R = x0 → ∞. Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью µ ( x ) есть функция непрерывная во всем пространстве �3 . Доказательство. Уже отмечалось, что u ( x0 ) непрерывен во всех x0 ∈�3 \ S . Покажем, что u ( x0 ) непрерывен и при x0 ∈S . Для этого нужно µ( x ) доказать, что интеграл u ( x0 ) =∫ ds сходится равномерно в точках S r поверхности S . Пусть x* - произвольная точка поверхности S . В точке x* построим местную систему координат, как указано выше. Пусть ε >0 - заданное число и σ1 −часть поверхности S , определенная условием d ( d1 ≤ , α - из определения поверхности Ляпунова). ξ 2 +η 2 ≤d12 , 4 Покажем, что можно выбрать d1 настолько малым, чтобы при любом положении x0 в некоторой окрестности x* выполнялось неравенство
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »