Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 70 стр.

                                                 - 70 -
                                      µ( x )
                                    ∫
                                   σ1
                                       r
                                             dS ≤ε , r = x −x0 .                                     (21.1)

           Мы имеем
                                           µ( x )            d ξ dη
                                        ∫
                                        σ1
                                            r
                                                  dS ≤2 A ∫/   ρ
                                                                    ,                            (21.2)
                                                         σ 1
                                                                 1


где σ1/ - круг радиуса d1 с центром в x* ,                     ρ1 = Пр.(ξ ,η ) x0 x ≤r (так как
          d ξ dη
dS =                  ≤ 2d ξ dη ),      µ ( x ) ≤A .
          cosθ0 �� cosθ0 ≤1��
                �       2�

           Если x0 ∈Bd1 ( x* ) , то x10 =Пр(ξ ,η ) x0 принадлежит кругу σ1/ с центром в

x* , лежащему в плоскости (ξ ,η ) (см. рис.                                        ξ
                                                                  σ1′                            Bδ1 ( x* )
19).
                                                                             x10                     (η , ξ )
           Если на плоскости (ξ ,η ) взять круг                                        *
                                                                              x0   x
σ   1
     //
          радиуса 2d1 с центром в точке x , то         0
                                                       1
                                                                                           Рис. 19
он, очевидно, будет содержать весь круг
σ1/ , так что в силу (21.2):
                       µ(x)                  d ξ dη
                                                         2π 2 d1
                                                                 ρ1d ρ1dϕ
                    ∫ r
                    σ1
                            dS ≤2 A    ∫ ρ1
                                    ρ1 ≤2 d1
                                                    =2 A ∫∫
                                                          0 0
                                                                    ρ1
                                                                          =8π Ad1 .

     Последняя оценка не зависит от положения точки x* на S .
Фиксируем теперь d1 так, чтобы 8π Ad1 <ε , и получим оценку (21.1) при
любом положении x0 в                    Bd1 ( x* ) . Это и означает, что интеграл u ( x0 )
сходится равномерно в точке x* , а следовательно, функция u ( x0 )
непрерывна в точке x0 =x* ∈S . Теорема доказана.

              § 22. Нормальная производная потенциала простого слоя

           Пусть       n*    -    направление внешней нормали в некоторой точке
x* ∈S .
                                                               ∂u ( x0 )
Считая, что x0 ∉S , составим производную                                   . От x0 зависит лишь
                                                                 ∂n*
1
  и мы можем дифференцировать под знаком интеграла
r