Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 72 стр.

                                                            - 72 -
откуда и следует сходимость интеграла (22.2), если x0 =x* ∈S .
     Перейдем теперь к выяснению поведения нормальной производной
потенциала простого слоя (22.1) при приближении x0 → x* ∈S по нормам
изнутри или извне поверхности S . Будет доказана следующая
     Теорема 16. Нормальная производная потенциала простого слоя
∂u ( x0 )
            имеет пределы
  ∂n*0
            � ∂u ( x0 � )                       ∂u ( x0 )               cosψ *
             �          �       = lim                       =∫µ ( x )          ds +2πµ ( x* );
               � ∂n* �            x0 → x*∈S ,    ∂n*0                     r*2
                �   0 �     i     x0∈Di                        S
                                                                                                       (22.3)
            � ∂u ( x0 � )                             ∂u ( x0 )             cosψ
             �          �       =       lim                        =∫µ ( x ) 2 * ds −2πµ ( x* ).
               � ∂n* �            x0 → x*∈S , x0∉Dl     ∂n*0                  r*
                �   0 �     e                                       S

                                                                         ∂u ( x0 )
         Доказательство. Составим разность                                           и потенциала двойного
                                                                           ∂n*0
слоя w ( x0 ) с той же плотностью µ ( x )
                       ∂u ( x0 ) ∂u ( x0 )                     cosψ −cos ϕ
             F ( x0 ) =         =          −w ( x0 ) =∫µ ( x )             ds .
                        ∂n*0      ∂n*0                S            r 2


         Написанный интеграл имеет смысл, если x0 ∉S или если x0 =x* ∈S .
Покажем, что интеграл F ( x0 ) имеет предел, когда точка                                         x0 → x*   по
нормали n* к S в точке x* , и что этот предел равен значению интеграла
F ( x0 ) при x0 =x* . В точке x* построим местную систему координат.
Пусть            σ1 -           часть           поверхности             S,        определяемая     условием
               �    d�
ξ 2 +η 2 ≤d12 � d1 ≤ � . Точка x0 ∈n* , т.е. в местной системе координат
                 �  2�
x1 =0 , x2 =0, (ξ ,η , ς ) - координаты точки x ∈S в местной системе
координат. При этом мы имеем
                ξ            η               ς −x3                            ς −x3
      cos ϕ = cos ( n, x1 ) + cos ( n, x2 ) +      cos (n, x3 ) ; cosψ =
                r            r                 r                                  r
и, следовательно,
       cosψ −cos ϕ � ξ                   η              ς −x3                           � 1
              2
                   =� − cos ( n, x1 ) − cos ( n, x2 ) −          �� cos ( n, x3 ) −�� 1 � ⋅ 2
            r         � r                 r                r                             � r
.
         Принимая во внимание оценки cos (n, x1 ) ≤c ρ0α ; cos (n, x2 ) ≤c ρ0α ;