ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 73 -
(
)
2
30003
1cos,;;;
nxcrxr
α
ρξρρς
−≤≤≤−≤
из (19.1) , где
22
0
ρξη
=+
- проекция
0*
xx
на плоскость
(
)
,
ξη
, получим
1
22
0
coscos
b
r
α
ψϕ
ρ
−
−
≤ , где
1
const.
b
=
Принимая во внимание, что
(
)
xA
µ
≤
, будем иметь
()
1
001
2
0
1
121
221
00
00
coscos2
2
d
d
dd
Ab
xdsddAbbd
r
π
α
αα
σρ
ρϕ
ψϕ
µξη
ρρ
−−
≤
−
≤==
∫∫∫∫
,
где
2
b
- постоянная . Эта оценка имеет место при любом положении точки
0
x
на нормали
*
n
к поверхности
S
в точке
*
x
. Отсюда следует, что если
0
ε
>
задано , то, фиксируя
1
d
таким, чтобы
21
4
bd
α
ε
<
, будем иметь
()
1
2
coscos
4
xds
r
σ
ψϕε
µ
−
≤
∫
. (22.4)
Разбивая теперь
S
на две части
1
σ
и
1
\
S
σ
, можем записать
(
)
(
)
(
)
(1)(2)
000
FxFxFx
=+, где
() ()
11
(1)(2)
00
22
\
coscoscoscos
();().
S
FxxdsFxxds
rr
σσ
ψϕψϕ
µµ
−−
==
∫∫
Имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(1)(1)(2)(2)
0*0*0*
FxFxFxFxFxFx
−=−+−
, откуда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(1)(1)(2)(2)
0*0*0*
FxFxFxFxFxFx
−≤++−
или , в силу
оценки (22.4):
()
()
()
()
(2)(2)
0*0*
2
FxFxFxFx
ε
−≤+−
, если считать , что
0*
xn
∈
.
В интеграле
(
)
(2)
0
Fx
интегрирование совершается по
1
\
S
σ
, а точка
*
x
лежит внутри
1
σ
, и потому функция
(
)
(2)
0
Fx
в точке
*
x
и ее некоторой
окрестности непрерывна. Таким образом , для всех
0
x
достаточно близких
к
*
x
, имеем
() ()
(2)(2)
0*
2
FxFx
ε
−<
, и
(
)
(
)
0*
FxFx
ε
−<
, откуда, в силу
произвольности
0
ε
→
следует, что
(
)
(
)
0*
0*
lim
xx
FxFx
→
=
, причем точка
0*
xx
→
по нормам к
S
в точке
*
x
извне или изнутри . Ранее было
показано , что потенциал двойного слоя
(
)
0
w
x
имеет предел при
стремлении
0*
xx
→
- 73 -
1 −cos (n, x3 ) ≤c ρ02α ; ξ ≤ρ0 ; r ≤ρ0 ; ς −x3 ≤r из (19.1) , где
ρ0 = ξ 2 +η 2 - проекция x0 x* на плоскость (ξ ,η ) , получим
cosψ −cosϕ b1
≤ , где b1 =const. Принимая во внимание, что
r 2
ρ02−α
µ ( x ) ≤A , будем иметь
2π 1 d
cosψ −cos ϕ 2 Ab1 d ρ dϕ
∫ µ (x) ds ≤ ∫ 2−α d ξ dη =2 Ab1 ∫∫ 10−α =b2 d1α ,
ρ0 ≤d1 ρ0 0 0 ρ0
2
σ0 r
где b2 - постоянная. Эта оценка имеет место при любом положении точки
x0 на нормали n* к поверхности S в точке x* . Отсюда следует, что если
ε
ε >0 задано, то, фиксируя d1 таким, чтобы b2 d1α < , будем иметь
4
cosψ −cos ϕ ε
∫µ ( x )
σ1 r2
ds ≤
4
. (22.4)
Разбивая теперь S на две части σ1 и S \ σ1 , можем записать
F ( x0 ) =F (1) ( x0 ) +F (2) ( x0 ) , где
cosψ −cos ϕ cosψ −cos ϕ
F (1) ( x0 ) =∫µ( x) ds ; F (2)
( x0 ) = ∫ µ ( x ) ds.
σ1 r2 S \σ1 r 2
Имеем F ( x0 ) −F ( x* ) =�� F (1) ( x0 ) −F (1) ( x*� )� +�� F (2) ( x0 ) −F (2) ( x*�� ) , откуда
F ( x0 ) −F ( x* ) ≤ F (1) ( x0 ) + F (1) ( x* ) + F (2) ( x0 ) −F (2) ( x* ) или, в силу
ε
оценки (22.4): F ( x0 ) −F ( x* ) ≤ + F (2) ( x0 ) −F (2) ( x* ) , если считать, что
2
x0 ∈n* .
В интеграле F (2) ( x0 ) интегрирование совершается по S \ σ1 , а точка
x* лежит внутри σ1 , и потому функция F (2) ( x0 ) в точке x* и ее некоторой
окрестности непрерывна. Таким образом, для всех x0 достаточно близких
ε
к x* , имеем F (2) ( x0 ) −F (2) ( x* ) < , и F ( x0 ) −F ( x* ) <ε , откуда, в силу
2
произвольности ε → 0 следует, что lim F ( x0 ) =F ( x* ) , причем точка
x0 → x*
x0 → x* по нормам к S в точке x* извне или изнутри. Ранее было
показано, что потенциал двойного слоя w ( x0 ) имеет предел при
стремлении x0 → x*
