Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 71 стр.

                                                               - 71 -
                             ∂u ( x0 )                     ∂ � 1�              cosψ
                                            =∫µ ( x )          � � ds =∫µ ( x ) 2 ds .                        (22.1)
                                 ∂n*           S          ∂n* � r�     S        r
     Отметим разницу между последним интегралом и потенциалом
                              cos ϕ                   �
двойного слоя w ( x0 ) =∫µ( x) 2 ds . В w ( x0 ) : ϕ =r , n , где r =x −x0 , а
                        S      r
n - нормаль в точке x ∈S , x - переменная интегрирования. В интеграле
             �
                       ( )
(22.1) ψ = r , n* , где n* - единичный вектор внешней нормали в

фиксированной точке                             x* ∈S . В обоих случаях               r =x0 x . Покажем, что
интеграл (22.1) существует и в том случае, когда x0 ∈S , причем x0 =x* . В
этом последнем случае будем записывать интеграл (22.1) в виде
(r = x −x ,
     *      *                     (
                        ψ * = r* , n*         ))
                                                   cosψ *               cos (r* , n* )
                                      ∫µ ( x )
                                      S              r*2
                                                          ds =∫Sµ ( x )
                                                                            r*2
                                                                                       ds .                   (22.2)

            Для этого достаточно рассмотреть интеграл (22.1) на участке
σ 0 ⊂ S , содержащем x* . В точке x* построим местную систему координат.
Через ( x10 , x20 , x30 ) обозначим координаты x 0 , а через (ξ , η , ς ) - координаты
                                            µ ( x ) cos (r , n* )          µ ( x ) ς −x
точки x ∈S . Тогда                     ∫
                                       σ0            r2
                                                                    ds = ∫ 2 ⋅ 3 3 ds (см. рис. 20).
                                                                        σ0  r        r
            Если x0 =x* , то x3 =0 и интеграл принимает вид
                ς                        ς (ξ ,η )                                                ζ
∫µ ( x )
σ0
                r03
                    dS = ∫/µ (ξ ,η )
                                     r 3
                                         cos ( n , x  )
                                                        d ξ dη                            n   *

                                                                                                  ψ
                        σ    0
                                      *             3

,
                                                                                                  r*          (ξ , η )
где σ       /
            0     - проекция σ 0 на плоскость                                                 ζ           x

(ξ ,η ) , касательную к σ 0                         в точке x* , а                           (r�
                                                                                               , nx )
                                                                                          x3      x0    Рис. 20
ς =ς (ξ ,η ) -    локальное                               уравнение
поверхности                      σ0 ⊂ S .             В                        силу                        оценок
                            1
 ς ≤c ρ01+α , cos (n, x3 ) ≥ , r* ≥ρ* , µ ( x ) ≤A имеем
                            2
следующую                  оценку       подынтегральной                                                  функции
                 ς (ξ ,η )             2CA
    µ (x)                         ≤          ,
            r cos (n, x3 )
            *
             3
                                       ρ*2−α