Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 68 -
Доказательство. Пусть
*
xS
∈
. Представим
(
)
0
w
x
в виде
(
)
(
)
)
(
)
*
00010
www
xxxx
µ=+ , (20.4)
где
(
)
)
*22
001
w()cos;cos
SS
xxxrdsWrds
µµϕϕ
−−

=−=

∫∫
- интеграл Гаусса.
Пусть
*
0
xxS
→∈
(см . рис.18) Поведение
1
w
известно . Рассмотрим
(
)
00
w
x
. Докажем, что
(
)
00
w
x
сохраняет
непрерывность , когда
0
x
пересекает
S
в
точке
*
x
. Зададим
0
ε
>
. В силу
непрерывности
(
)
x
µ
существует участок
*
00
,Sx
σσ
⊂⊂
:
()
*
(),
4
xx
ε
µµ
π
−≤
0
x
σ
∈
. (
K
- из условия (20.2)).
Разобьем поверхность
S
на части
(
)
00
\SS
σσ
=
U
.
(
)
(
)
(
)
12
000000
www
xxx
=+, (20.5)
где
(
)
(
)
00
1*22*2
0000
\
w[()()]cos;w[()()]cos.
σσ
µµϕµµϕ
−−
=−=−
∫∫
S
xxxrdsxxxrds
(20.6)
Справедлива оценка
() ()
()
0
1*2
00
wcos
44
xxxrdsk
k
σ
εε
µµϕ
−

≤−≤⋅=

∫
.
Из (20.5) следует
(
)
)
(
)
)
(
)
)
*11*22*
000000000
wwwwww
xxxxxx
−=−+− ,
откуда
(
)
)
(
)
)
(
)
)
()
()
*11*22*
000000000
22*
000
wwwwww
ww.
2
xxxxxx
xx
ε
−=++−≤
≤+−
В
(
)
2
00
w
x
интегрирование ведется по
0
\
xS
σ
∈
, причем
*
0
x
σ
∈
,
следовательно , подынтегральная функция в
(
)
2
00
w
x
непрерывна,
следовательно , непрерывна в точке
*
x
и сама функция
(
)
2
00
w
x
, т.е. при
*
0
xx
→
для любого
ε
:
22*
000
|w()w()|0,5
xx
ε
−<
и поэтому
(
)
)
*
000
wwxx
ε
−<
, откуда следует непрерывность
(
)
00
w
x
в точке
*
0
xxS
=∈
.
D
n
x
ϕ
r
0
xD∈
*
x
SD=∂ Рис. 18 
                                                 - 68 -
       Доказательство. Пусть x* ∈S . Представим w ( x0 ) в виде
                                w ( x0 ) =w 0 ( x0 ) +µ ( x* ) w1 ( x0 ) ,                          (20.4)

где w 0 ( x0 ) =∫�� µ( x) −µ ( x*�� ) cos ϕr −2 ds ; W1 =∫cos ϕr −2 ds - интеграл Гаусса.
                   S                                            S

       Пусть x0 → x* ∈S (см. рис.18) Поведение w1 известно. Рассмотрим
w 0 ( x0 ) . Докажем, что w 0 ( x0 ) сохраняет
непрерывность, когда x0 пересекает S в                                                       D
                                                                                                            n
точке x . Зададим ε >0 .
           *
                                В силу                                                              x
                                                                                                     ϕ
непрерывности µ ( x ) существует участок                                            r

                                      ε
σ 0 ⊂ S , x* ⊂σ 0 : µ( x) −µ ( x* ) ≤ ,                                       x0 ∈D          x*
                                     4π
                                                                                   S =∂D          Рис. 18
 x ∈σ 0 . ( K - из условия (20.2)).
       Разобьем поверхность S на части S =σ 0  ( S \ σ 0 ) .
                                   w 0 ( x0 ) =w10 ( x0 ) +w 02 ( x0 ) ,                            (20.5)
где
w10 ( x0 ) =∫[µ( x) −µ( x* )]cosϕr −2 ds ;w 02 ( x0 ) = ∫ [µ( x ) −µ( x* )]cosϕr −2 ds. (20.6)
           σ0                                               S \σ 0

                                                                       ε     ε
Справедлива оценка w10 ( x0 ) ≤ ∫�� µ ( x ) −µ ( x*�� ) cos ϕ r −2 ds ≤ ⋅ k = .
                                           σ0                          4k    4
Из (20.5) следует
                w 0 ( x0 ) −w 0 ( x* ) =w10 ( x0 ) −w10 ( x* ) +w 02 ( x0 ) −w 02 ( x* ) ,
откуда
           w 0 ( x0 ) −w 0 ( x* ) = w10 ( x0 ) + w10 ( x* ) + w 02 ( x0 ) −w 02 ( x* ) ≤
                                 ε
                               ≤ + w 02 ( x0 ) −w 02 ( x* ) .
                                 2
       В w 02 ( x0 )    интегрирование ведется по x ∈S \ σ 0 , причем                             x* ∈σ 0 ,
следовательно,           подынтегральная            функция          в     w 02 ( x0 )   непрерывна,
следовательно, непрерывна в точке x* и сама функция w 02 ( x0 ) , т.е. при
x0 → x*         для     любого             ε:     | w 02 ( x0 ) −w 02 ( x* ) | <0,5ε     и        поэтому
w 0 ( x0 ) −w 0 ( x* ) <ε , откуда следует непрерывность w 0 ( x0 ) в точке

x0 =x* ∈S .

Страницы