Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 66 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

- 66 -
() ()
0
222
cos
4
w()0
R
SS
A
xxdsxds
rRR
ϕ
µµ
→∞
<=⇒
∫∫
.
Пусть теперь
*
0
xxS
=∈
. Обозначим
*
0
rxx
=−
. Покажем, что и в
этом случае
0
w()
x
сходится . Для этого достаточно исследовать
подынтегральную функцию на куске границы
)
*
00
,
d
SSBx
σσ⊂⊂I. В
точке
*
x
построим местную (локальную ) систему координат, в которой
уравнение границы
S
имеет вид
(
)
,
f
ςξη
=
. В этой системе координат
точка
(
)
*
0,0,0
x =
, а точка
x
имеет координаты
(
)
,,
ξης
и
222
0
r
ξης
=++
. Найдем
!
)
00
coscos,
rn
ϕ =
, где
0
r
- направление
*
xx
)
)
)
)
)
)
0011022033
coscos,cos,cos,cos,cos,cos,
rxnxrxnxrxnx
ϕ =++
,
но
() () ()
010203
000
cos,;cos,;cos,rxrxrx
rrr
ξης
===
. Следовательно ,
() () ()
0123
000
coscos,cos,cos,
nxnxnx
rrr
ξης
ϕ =++.
При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки
)
)
1
01020
;cos,;cos,,
cnxcnxc
ααα
ςρρρ
+
≤≤
а также очевидные оценки
0000
;,
r
ξρηρρ
≤≤
, где
22
0
ρξη
=+
получим
111
000000
2333222
0000000
cos33cc
b
c
rrrrr
ααααα
α
ϕρρρρρ
ρρ
+++

++≤=


, где
b
-
постоянная . Кроме того, для непрерывной функции
(
)
x
µ
справедлива
оценка
(
)
(
)
,
xAxS
µ
≤∈
. Заменяя интеграл по
0
σ
интегралом по
/
0
σ
-
проекции
0
σ
на плоскость
12
xOx
местной системы координат,
получим
() ()
/
0
0
00
22
000
coscos
,,
cos
dd
xds
rr
σ
σ
ϕϕ
ξη
µµξη
θ
=⋅
∫∫
(
0
θ
- угол между
ds
и
dd
ξη
), но
()
()
0
2222
000000
3
cos
1112
,
coscos
cos,
AbAbAb
r
nx
ααα
ϕ
µξη
θρθρρ
−−
⋅≤,
                                                           - 66 -
                                    cos ϕ                 4                        A
        w ( x0 ) ≤∫µ( x)                 2
                                                 ds <          ∫µ ( x ) ds = R             ⇒ 0.
                      S              r                    R2   S
                                                                                       2   R→ ∞


        Пусть теперь x0 =x* ∈S . Обозначим r0 = x* −x . Покажем, что и в
этом     случае           w( x0 )    сходится. Для                          этого достаточно исследовать
подынтегральную функцию на куске границы σ 0 ⊂ S , σ 0 ⊂ S  Bd ( x* ) . В
точке x* построим местную (локальную) систему координат, в которой
уравнение границы S имеет вид ς = f (ξ ,η ) . В этой системе координат
точка     x* =(0,0,0 ) ,             а точка                   x       имеет координаты                (ξ ,η ,ς )   и
                                        �
                                                                   ( )
r0 = ξ 2 +η 2 +ς 2 . Найдем cos ϕ0 =cos r0 , n , где r0 - направление x* x

                           (        ) (               )            (         ) (
        cos ϕ0 =cos r0 , x1 cos n, x1 +cos r0 , x2 cos n, x2 +cos r0 , x3 cos n, x3        )       (   ) (          )
,
                ξ                            η               ς
         (      )
но cos r0 , x1 = ;
                r0
                                     (            )                    (
                                cos r0 , x2 = ; cos r0 , x3 = . Следовательно,
                                             r0              r0
                                                                               )
                            ξ           η           ς
                                             (        )
                    cos ϕ0 = cos n, x1 + cos n, x2 + cos n, x3 .
                            r0          r0          r0
                                                                        (      )               (   )
        При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки

                                                 ( )
                     ς ≤c ρ0α +1 ; cos n, x1 ≤c ρ0α ;                              (       )
                                                                              cos n, x2 ≤c ρ0α ,

а также очевидные оценки                              ξ ≤ρ0 ; η ≤ρ0 , ρ0 ≤r0 , где ρ0 = ξ 2 +η 2
          cos ϕ0    � ρ0α +1 ρ0α +1 ρ0α +� 1  3c ρ0α 3c ρ0α  b
получим          ≤c  � 3    +      +   3�
                                             ≤      ≤ 2 = 2−α , где b -
            r02
                      � r0    r03
                                     r0 �      r02
                                                      ρ0    ρ0
постоянная. Кроме того, для непрерывной функции µ ( x ) справедлива
оценка       µ ( x ) ≤A , ( x ∈S ) . Заменяя интеграл по σ 0 интегралом по σ 0/ -
проекции σ 0               на       плоскость              x1Ox2             местной системы координат,
получим
          cos ϕ               cos ϕ d ξ dη
∫  µ ( x ) 2 0 ds = ∫µ (ξ ,η ) 2 0 ⋅        , ( θ0 - угол между ds и d ξ dη ), но
σ0
            r0      /
                   σ0
                                r0   cos θ0


                     cos ϕ0     1    Ab     1    Ab       1       2 Ab
         µ (ξ ,η )          ⋅      ≤     ⋅     ≤     ⋅          ≤       ,
                       r02    cosθ0 ρ02−α cosθ0 ρ02−α cos n, x3   ρ02−α                        (   )