ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 66 -
() ()
0
222
cos
4
w()0
R
SS
A
xxdsxds
rRR
ϕ
µµ
→∞
≤<=⇒
∫∫
.
Пусть теперь
*
0
xxS
=∈
. Обозначим
*
0
rxx
=−
. Покажем, что и в
этом случае
0
w()
x
сходится . Для этого достаточно исследовать
подынтегральную функцию на куске границы
(
)
*
00
,
d
SSBx
σσ⊂⊂I. В
точке
*
x
построим местную (локальную ) систему координат, в которой
уравнение границы
S
имеет вид
(
)
,
f
ςξη
=
. В этой системе координат
точка
(
)
*
0,0,0
x =
, а точка
x
имеет координаты
(
)
,,
ξης
и
222
0
r
ξης
=++
. Найдем
!
(
)
00
coscos,
rn
ϕ =
, где
0
r
- направление
*
xx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0011022033
coscos,cos,cos,cos,cos,cos,
rxnxrxnxrxnx
ϕ =++
,
но
() () ()
010203
000
cos,;cos,;cos,rxrxrx
rrr
ξης
===
. Следовательно ,
() () ()
0123
000
coscos,cos,cos,
nxnxnx
rrr
ξης
ϕ =++.
При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки
(
)
(
)
1
01020
;cos,;cos,,
cnxcnxc
ααα
ςρρρ
+
≤≤≤
а также очевидные оценки
0000
;,
r
ξρηρρ
≤≤≤
, где
22
0
ρξη
=+
получим
111
000000
2333222
0000000
cos33cc
b
c
rrrrr
ααααα
α
ϕρρρρρ
ρρ
+++
−
≤++≤≤=
, где
b
-
постоянная . Кроме того, для непрерывной функции
(
)
x
µ
справедлива
оценка
(
)
(
)
,
xAxS
µ
≤∈
. Заменяя интеграл по
0
σ
интегралом по
/
0
σ
-
проекции
0
σ
на плоскость
12
xOx
местной системы координат,
получим
() ()
/
0
0
00
22
000
coscos
,,
cos
dd
xds
rr
σ
σ
ϕϕ
ξη
µµξη
θ
=⋅
∫∫
(
0
θ
- угол между
ds
и
dd
ξη
), но
()
()
0
2222
000000
3
cos
1112
,
coscos
cos,
AbAbAb
r
nx
ααα
ϕ
µξη
θρθρρ
−−−
⋅≤⋅≤⋅≤,
- 66 - cos ϕ 4 A w ( x0 ) ≤∫µ( x) 2 ds < ∫µ ( x ) ds = R ⇒ 0. S r R2 S 2 R→ ∞ Пусть теперь x0 =x* ∈S . Обозначим r0 = x* −x . Покажем, что и в этом случае w( x0 ) сходится. Для этого достаточно исследовать подынтегральную функцию на куске границы σ 0 ⊂ S , σ 0 ⊂ S Bd ( x* ) . В точке x* построим местную (локальную) систему координат, в которой уравнение границы S имеет вид ς = f (ξ ,η ) . В этой системе координат точка x* =(0,0,0 ) , а точка x имеет координаты (ξ ,η ,ς ) и � ( ) r0 = ξ 2 +η 2 +ς 2 . Найдем cos ϕ0 =cos r0 , n , где r0 - направление x* x ( ) ( ) ( ) ( cos ϕ0 =cos r0 , x1 cos n, x1 +cos r0 , x2 cos n, x2 +cos r0 , x3 cos n, x3 ) ( ) ( ) , ξ η ς ( ) но cos r0 , x1 = ; r0 ( ) ( cos r0 , x2 = ; cos r0 , x3 = . Следовательно, r0 r0 ) ξ η ς ( ) cos ϕ0 = cos n, x1 + cos n, x2 + cos n, x3 . r0 r0 r0 ( ) ( ) При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки ( ) ς ≤c ρ0α +1 ; cos n, x1 ≤c ρ0α ; ( ) cos n, x2 ≤c ρ0α , а также очевидные оценки ξ ≤ρ0 ; η ≤ρ0 , ρ0 ≤r0 , где ρ0 = ξ 2 +η 2 cos ϕ0 � ρ0α +1 ρ0α +1 ρ0α +� 1 3c ρ0α 3c ρ0α b получим ≤c � 3 + + 3� ≤ ≤ 2 = 2−α , где b - r02 � r0 r03 r0 � r02 ρ0 ρ0 постоянная. Кроме того, для непрерывной функции µ ( x ) справедлива оценка µ ( x ) ≤A , ( x ∈S ) . Заменяя интеграл по σ 0 интегралом по σ 0/ - проекции σ 0 на плоскость x1Ox2 местной системы координат, получим cos ϕ cos ϕ d ξ dη ∫ µ ( x ) 2 0 ds = ∫µ (ξ ,η ) 2 0 ⋅ , ( θ0 - угол между ds и d ξ dη ), но σ0 r0 / σ0 r0 cos θ0 cos ϕ0 1 Ab 1 Ab 1 2 Ab µ (ξ ,η ) ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ , r02 cosθ0 ρ02−α cosθ0 ρ02−α cos n, x3 ρ02−α ( )
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »