Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 61 стр.

                                                              - 61 -

    ( )
 v1 x�
     0 −v1 ( x0 )
                         −X 1 ( x0 ) <ε                если ∆x1 <δ2 , отсюда
                                                                                            ∂v
                                                                                                 =X 1 ( x0 ) .
          ∆x1                                                                               ∂x10

                     ∂v                           ∂v
Аналогично                =X 2 ( x0 );                 =X 3 ( x0 ) . Теорема доказана.
                     ∂x20                         ∂x30
         Теорема 13. Если плотность ρ ( x ) ∈C D  C1 ( D) , причем первые    ( )
производные равномерно в D ограничены, то объемный потенциал
            ρ( x )
v ( x0 ) =∫        dx∈C 2 ( D) , причем ∆ v ( x0 ) =−4πρ ( x0 ) .
          D
             r
         Доказательство.                                    Пусть           x0* ∈D , Bδ ( x0* ) ⊂ D ,            пусть
x0* ∈D , Bδ ( x0* ) ⊂ D , пусть                       D1 =D \ Bδ ( x0* ) . Представим v ( x0 ) в виде
v ( x0 ) =v1 ( x0 ) +v0 ( x2 ) , где
                                         ρ( x)                     ρ( x )
                            v1 ( x0 ) =∫       dx ; v0 ( x) = ∫           dx .
                                          r                         r
                                       D                     B x *
                                                                             δ   ( )
                                                                                  0


         В силу предыдущей теоремы
                     ∂ v ( x0 )                    ∂ � 1�                  ∂ � 1�
                                    = ∫ρ( x)            � � dx + ∫ ρ( x )        � � dx ,
                       ∂x01          D1           ∂x01 � r�     Bδ ( x0 )
                                                                      *   ∂x�  �
                                                                              01 r


     � 1�
   ∂� �
           ∂ �             1�
но � � =− �                               � r=                          +( x02 −x2 ) +( x03 −x3 ) �� . Тогда
        r
                                                      ( x01 −x1 )
                                                                    2               2            2
                             � ,           �
    ∂x01  ∂x1 �             r�            �                                                         �
∂ v ( x0 )                ∂ � 1�                  ∂� � 1
             = ∫ρ( x )         � � dx − ∫ ρ ( x ) � �     dx . Проинтегрируем второй
  ∂x01         D1        ∂x01 � r �    Bδ ( x0 )
                                             *   ∂x 1 � �
                                                        r

интеграл по частям, получим
∂ v ( x0 )                ∂ �       1�            ∂          1         ρ ( x ) cos (n, x1 )
             = ∫ρ( x )          �      � dx + ∫* ∂x1 ρ ( x )   dx − ∫*                     ds . (18.8)
  ∂x01                   ∂x01 �      r�                      r                  r
                D1                           B x  δ   ( )
                                                       0           S x            δ   ( )
                                                                                       0


         Первое        слагаемое              в        (18.8) есть собственный                     интеграл       для
x0 ∈Bδ ( x0* ) ,               причем                                      существует                производная

 ∂ � ∂ v ( x0 � )
               � , x0 ∈Bδ ( x0 ) , k =1,3 , то же можно утверждать и о третьем
                             *
       �
∂x0 k � ∂x0 �
слагаемом в (18.8), так как x ∈Sδ ( x0* ) , а x0 ∈Bδ ( x0* ) . Второе слагаемое в