Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 57 стр.

                                                       - 57 -
      Пусть        S - замкнутая поверхность и f ( x0 , x ) непрерывна при
x ∈S , x0 ∈    3
                   \ {x}, а при x0 → x : f ( x0 , x ) → ∞. Тогда интеграл
                                   u ( x0 ) =∫f ( x0 , x ) dS x                                     (17.3)
                                                 S

является непрерывной функцией x0 , когда x0 ∈S . Если x0 ∈S , то f ( x0 , x ) ,
как функция x0 , непрерывна на S , за исключением случая x =x0 .
Исключим точку x0 вместе с некоторой малой окрестностью σ n ⊂ S
диаметра ρn . На оставшейся поверхности S \ σ n : f ( x0 , x ) непрерывна и
ограничена, поэтому
существует интеграл
                                                ∫ f ( x , x )ds
                                              S \σ n
                                                              0           x   .                     (17.4)

      Если при произвольном стягивании области σ n к точке x0 интеграл
(17.4) стремится к определенному конечному пределу, не зависящему от
выбора областей σ n , то этот предел и называют несобственным
интегралом от функции f ( x0 , x ) по поверхности S

                        ∫f ( x , x ) dS
                        S
                              0           x   =lim
                                               σn → 0      ∫ f ( x , x ) dS ;
                                                         S \σ n
                                                                      0               x   x0 ∈S .   (17.5)

      Интеграл (17.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится
интеграл   ∫ f ( x , x ) dS
           S
                    0         x   . Если последний интеграл сходится, то сходится и

интеграл (17.5).
     Определение. Интеграл (17.3) называют равномерно сходящимся в
точке x0* ∈S , если для любого ε >0 найдется такая окрестность Vε ( x0* ) и
такая часть σ (ε ) поверхности S , содержащая строго внутри точку x0* , что

для любого x0 ∈Vε ( x0* ) интеграл                     ∫ f ( x , x )dS
                                                                  0               x   <ε .
                                                     σ (ε )

      Теорема 11 (доказательство аналогично предыдущему). Равномерно
сходящийся в точке                 x0* ∈S       интеграл (17.3) есть функция x0 ∈�3 ,
непрерывная в точке x0* .

                                  § 18. Объемный потенциал

      Рассмотрим объемный потенциал