Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 45 стр.

                                              - 45 -
                                        1       1       1       1
          G ( x, y ) x∈∂Ω пл. x Ox =       −       −       +        =0 .
                                1  2
                                     4π x −y 4π x −y 4π x −y 4π x −y

    § 13. Некоторые сведения о краевых задачах для уравнения Пуассона

     Наряду с уравнением Лапласа, имеющим нулевую правую часть,
рассмотрим неоднородное уравнение
                        ∆u ( x) = f ( x) ,               (13.1)
которое называют уравнением Пуассона. Здесь f ( x) - заданная функция.
Для этого уравнения возможно поставить первую, вторую и третью
краевые задачи, точно так же, как в случае уравнения Лапласа. Из
доказательства   теорем   единственности   следует,    что   классы
единственности, доказанные для уравнения Лапласа, сохраняются и для
уравнения Пуассона (объясните, почему?). Отметим лишь, что в
формулировке теоремы единственности для внутренней задачи Неймана
вместо сформулированного необходимого условия разрешимости
  ∫
S =∂Di
         f 2 ( x)ds =0 (которое, впрочем, относится не к единственности, а к

разрешимости), необходимое условие разрешимости внутренней задачи
                                                                    ∂
Неймана для уравнения Пуассона ∆u =+f ( x);                           u      = f 2 ( x)   имеет
                                                                    ∂n x∈∂Di
вид
                                 ∫f
                                 S
                                      2   ( x )ds −∫f ( x)dx =0 .
                                                  G
                                                                                          (13.2)

Действительно, вторая формула Грина, примененная к функциям
u ( x) −решению данной задачи и v( x) ≡1 , принимает вид
                                                      �
                                                      �
                                              ∂u   ∂u��
                       ∫ (u∆v −v∆u ) dx = ∫� v +u � ds ,
                                               ∂n  ∂n�
                       
                       D
                               ∂D �� 
                            =−∫f ( x ) dx
                                              =f 2      �
                             D


откуда следует равенство (13.2).
     Зададимся целью научиться сводить решение краевых задач для
уравнения Пуассона к решению соответствующих задач для уравнения
Лапласа.
                                      1 � 1        �
     Рассмотрим функцию L ( x, x0 ) = � +ϕ ( x, x0� ) , r = x −x0 ,
                                     4π � r          �