Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 41 стр.

                                   - 41 -
      § 11. Задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности шара

       Пусть на поверхности S R (0) шара BR (0) задана непрерывная
функция f ( y ) . Докажем, что решение внешней задачи Дирихле для шара
представимо формулой
                               1                 ρ 2 −R 2
                      u (x) =
                              4π R SR∫
                                          f ( y)          ds .                                      (11.1)
                                     ( x)
                                                    r3
      Действительно,    как    и   при
доказательстве    формулы     Пуассона,                                            y
функция определяемая представлением                                            R                r
(45), удовлетворяет уравнению Лапласа.                       BR (0)

Покажем, что u ( x) → 0 равномерно при                                  O                 ρ            x

x → ∞. Очевидно, r >ρ −R . Возьмем                                                            Рис. 6

точку x (см. рис. 6) настолько удаленной
                                       ρ              ρ
от центра шара, что ρ >2R , т.е. R < . Тогда r > и
                                       2              2
                             ρ −R
                               2     2
                                        < 3 ( ρ2 −R 2 ) < .
                    a   8                8               8
                       < 3 ;
                   r 3
                        ρ        r 3
                                         ρ               ρ
                                          1 2                        c
                                          ρ π R SR∫
Следовательно, справедлива оценка u ( x) ≤ ⋅          f ( y ) dS y =   ,
                                                  (0)                ρ
из которой вытекает, что                   u ( x) → 0      при     x → ∞. Чтобы убедиться,
что
u ( x) → u ( x* )   при    x → x* , x ∈�3 \ BR (0) , x* ∈S R (0) , запишем интеграл
(11.1)
в сферических координатах
                          2π π
                                                        ρ2 −R 2
                          ∫∫f (θ ,ϕ )
                      R
        u ( ρ,θ,ϕ ) =           /  /
                                                                              sin θ / dθ / dϕ / , (11.2)
                     4π                                                  3
                          0 0
                                            (R   2
                                                     −2 R ρ cos γ +ρ    )
                                                                       2 2



γ =∠xOy , (θ / , ϕ / ) - угловые координаты точки y ∈S R (0) .
       Подвергнем точку x =( ρ,θ ,ϕ ) преобразованию инверсии, построив
x1 =( ρ1 ,θ ,ϕ ) , ρ ⋅ ρ1 =R 2 . Интеграл (11.2) можно записать в виде
                          2π π
                     ρ                                  R 2 −ρ12
        u ( ρ,θ,ϕ ) = 1   ∫∫f (θ ,ϕ )                                         sin θ / dθ / dϕ / , (11.3)
                                   /   /

                     4π                                                   3
                          0 0
                                            (R   2
                                                     −2 R ρ1 cos γ +ρ  1)
                                                                        2 2