Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 31 -
Из
0
Oxx
∆
и
1
Oxx
∆
по теореме косинусов имеем (рис. 4)
(
)
222
2cos,
ρ =+−
;
(
)
222
1111
2cos,.
RrRrrn
ρ =+−
Определим значения
(
)
cos,
rn
и
(
)
1
cos,
rn
из последних равенств и
подставим их в (7.8), после чего получим
222222
11
22
111
111
.
22
RRrRRr
nrrrRrrRr
ρρ
ρρ

∂+−+−
−⋅=−⋅+⋅

∂

Используя равенства
2
1
R
ρρ
=
и
1
r
rR
ρ
=
, вычислим
()
24
22
2222
1
22
222
1
22
222222
3223
111
2
2
11
1,.
2
RR
Rr
RrRR
R
nrrrRrRr
Rr
rR
rRRxS
RrRr
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
ρρρ
ρρ
+−

∂−−
−⋅=⋅+⋅=

∂



=−−++−=−∈




Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем
()
2
2
22
0
0
3
3
(0)(0)
0
11
()()
44
RR
SS
Rx
R
uxfxdxfxdx
Rr
Rxx
ρ
ππ
−
−
==
−
∫∫
. (7.9)
Полученная формула называется формулой Пуассона.
Таким образом , если решение внутренней задачи Дирихле для шара
существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими
первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.
Докажем теперь , что если
()
fx
- непрерывна , то формула Пуассона
(7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью , что
интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция
гармоническая в
(0)
R
B , непрерывная в
(0)
R
B и принимающая заданные
краевые значения.
Гармоничность следует из того, что при
0
xR
ρ
=<
()
22222222
332
2
121
2
11111
2cos,220
RRrRRr
rrrrRrr
RrnRR
rrnrrnr
ρρρ

−+−+−
∆=∆−∆=−∆−∆=


∂∂


=∆−−∆=−∆−∆=−∆−=


∂∂


1
20,
R
nr
∂

=−∆=

∂

                                             - 31 -
     Из ∆Ox0 x и ∆Oxx1 по теореме косинусов имеем (рис. 4)
        ρ 2 =R 2 +r 2 −2 Rr cos (r , n ) ;            ρ12 =R 2 +r12 −2 Rr1 cos (r1 , n ) .
     Определим значения cos (r , n ) и cos (r1 , n ) из последних равенств и
подставим их в (7.8), после чего получим
              ∂ � 1 R 1�       1 R 2 +r 2 −ρ2    R R 2 +r12 −ρ12
                  � − ⋅  �  =−   ⋅            +      ⋅           .
              ∂n � r ρ r� 1   r2     2 Rr       ρr12   2 Rr1
                                                   r ρ
     Используя равенства ρρ1 =R 2 и                  = , вычислим
                                                   r1 R
                                             R2 2 R4
                                          R + 2 r1 − 2          2
      ∂ � 1 R 1�    1 ρ2 −r 2 −R 2   R ρ2     ρ     ρ
          � − ⋅� = 2⋅              + 2 2⋅              =
      ∂n � r ρ r� 1 r    2 Rr       ρR r        R
                                             2R r
                                                ρ
         1 � 2 2            2�         r 2 R� 2 �
                                           − � 2 � = 3 ( ρ2 −R 2 ), x ∈S .
                                                     1
      =    3 �
               ρ −r −R 2
                         +ρ    �   1 +
       2 Rr �                    �     ρ ρ� �
                                         2
                                                    Rr
     Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем
                                                                              2
                     1                R 2 −ρ2       1                 R 2 − x0
          u ( x0 ) =
                    4π S R∫                              ∫
                              f ( x )         dx =            f ( x )            dx .        (7.9)
                          (0)
                                        Rr 3
                                                   4π S R (0)         R  x −x0
                                                                               3


     Полученная формула называется формулой Пуассона.
     Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара
существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими
первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.
     Докажем теперь, что если f ( x) - непрерывна, то формула Пуассона
(7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что
интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция
гармоническая в BR (0) , непрерывная в BR (0) и принимающая заданные
краевые значения.
     Гармоничность следует из того, что при x0 =ρ

Страницы