Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 25 стр.

                                 - 25 -
примененной к функциям v ≡1 и u − решению задачи. Действительно,
              ∂u
0 =−∫∆udx =∫ dS =∫f 2 ( x)dS . Теорема доказана.
    Di      S
              ∂n   S

    Теорема 6. Пусть выполнено условие 1. Решение внешней задачи
Неймана единственно.
    Доказательство. Пусть u 1 и u2 - два решения внешней задачи
Неймана. Тогда             u =u1 −u2 ∈C D e        ( )   - гармоническая в De функция,
которая имеет правильную нормальную производную на S =δ De . По
теореме 3 о поведении при                          x → ∞ гармонических функций имеем
           c        c
u ( x) ≤     ; ∇ u ≤ 12 , x → ∞. Применяя первую формулу Грина (2.2) к
           x        x
области QR =De  Br (0) при u =v , получим
                      2           ∂u              ∂u               ∂u
           ∫ ∇ u dx =∫u
           QR               S
                                  ∂n
                                     dS + ∫ u
                                         S R (0 )
                                                  ∂ n
                                                      dS = ∫ u
                                                          S R (0 )
                                                                   ∂ n
                                                                       dS .           (6.2)

      Но из оценок поведения u ( x) при x → ∞ следует

                      ∂u                  ∂u          cc1        cc1
                ∫ u ∂n dS ≤ ∫ u ⋅ ∂n dS ≤ R ∫dS =4π
            S R (0)             S R (0)
                                                         3
                                                                  R
                                                                     � �→
                                                                        � R→ ∞   0.   (6.3)

     Устремляя             R → ∞,        получим       из   (6.2)     и     (6.3)
∇ u =0 , u =const , x ∈De , но lim u ( x ) =0 , следовательно, 0 ≡u ( x) =u1 −u2
                                          x→ ∞

при всех x ∈De . Теорема доказана.

                           § 7. Функция Грина задачи Дирихле

      Предварительные рассуждения. Пусть u ( x) - гармоническая функция

                                          ( )
x ∈Di и u ( x) ∈C 2 ( Di )  C1 Di . Тогда имеет место формула (3.3) (3-е
свойство гармонической функции):
                                               �   1�
                                 1    �   1 ∂u   ∂   �
                      u ( x0 ) = ∫�            −u r� dS ,                             (7.1)
                                4π S � r ∂n      ∂n�
                                        �              �
где x ∈S ; x0 ∈Di , r = x −x0 .
      Пусть также известна функция g ( x, x0 ) , обладающая следующими
свойствами: