Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 20 стр.

                                            - 20 -
  ∂2u 2 2        ∂2u 2              ∂2u 2      ∂u         ∂u
 = 2 r sin θ +2       r sin θ cosθ + 2 r cosθ + 2r sin θ + 2r cosθ;
  ∂ξ            ∂ξ∂x3               ∂x3        ∂ξ         ∂x3
1 ∂ 2 ∂u        ∂2u 2         ∂2u                ∂2u          2 ∂u         2 ∂u
     ( r    ) =     sin θ +2       sin θ cos θ +     cos 2θ +      sin θ +       cosθ;
r ∂r
 2
         ∂r    ∂ξ 2
                             ∂ξ∂x3               ∂x3
                                                   2
                                                              r ∂ξ         r ∂x3
        ∂ �        ∂u�  ∂ � ∂u               ∂u         �
            � sin θ � = �      r cosθ sin θ − r sin 2 θ � =
       ∂θ �        ∂θ� ∂θ � ∂ξ               ∂x3          �
 ∂u                       ∂u              ∂2 u
= r (−sin 2 θ +cos 2 θ ) − r 2sin θ cosθ + 2 r cosθ sin θ r cosθ −
 ∂ξ                       ∂x3             ∂ξ
                ∂2u                        ∂2u
          −2         r cosθ sin θ r sin θ + 2 r sin 2 θ r sin θ;
               ∂ξ∂x3                       ∂x3
          1      ∂ �        ∂u� ∂2 u         ∂2u               ∂2u 2
                     � sin θ � = 2 cos θ −2       sin θ cos θ + 2 sin θ −
                                      2

      r 2 sin θ ∂θ �        ∂θ� ∂ξ          ∂ξ∂x3              ∂x3
                        sin θ ∂u cos 2 θ ∂u ∂u 2cos θ
                       −        +          −          .
                          r ∂ξ r sin θ ∂ξ ∂x3 r
Поэтому
1 ∂ � 2 ∂u�    1        �∂       ∂u � ∂ 2 u ∂ 2 u 1�      cosθ � ∂u
     � r � + 2        �    sin θ    � = 2 + 2 + � sin θ +       �    =
r ∂r �
 2
         ∂r� r sin θ ∂� θ        ∂θ � ∂ξ    ∂x3 r�        sin θ � ∂ξ
             ∂ 2 u 1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ � ∂u�    ∂ 2u
            = 2 +      +     = ⋅    ξ     + 2 ,
             ∂ξ    ξ ∂ξ ∂x32 ξ ∂ξ �� ∂ξ��  ∂x3
                                                          1      ∂2u     1 ∂2u
откуда и из очевидного равенства                                      ==           вытекает
                                                     r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2   ξ 2 ∂ϕ 2
утверждение.
     Утверждение 5. При преобразовании                       Кельвина гармоничность
сохраняется, т.е., если функция u ( x) гармонична в �3 \ BR (0) , то функция
u * ( x* ) гармонична в BR (0) \ {0}.
      Доказательство. Пусть связанные преобразованием инверсии (5.1)
точки x, x∗∈�3 , r =| x | ≥ R; ρ =| x∗ | ≤ R имеют следующие сферические
координаты x : ( r ; θ , ϕ), x∗ : ( ρ; θ; ϕ ) .         Преобразуем представление в
сферических координатах функции ∆u ∗( x∗) с помощью преобразования
Кельвина и равенства r ρ =R 2 , вытекающего из (5.2):
                           1 ∂ � 2 ∂u * �                ∂ �       ∂u� *
           ∆u * ( x* ) =
                                                1
                             ⋅     � ρ   � +         ⋅ �     sin θ       � +
                           ρ2 ∂ρ �     ∂ρ � ρ 2 sin θ ∂θ �         ∂θ�