Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 6 стр.

                                  -6-
производных, привести уравнение с переменными коэффициентами к
каноническому виду. Однако, это выходит за рамки нашего курса.
     Уравнение Лапласа. К уравнениям эллиптического типа приводит
изучение стационарных, т.е. не меняющихся с течением           времени
процессов различной физической природы. Простейшим уравнением
эллиптического типа является уравнение Лапласа:
                       n
                           ∂2
                      ∑      2 ( 1
                               u x ,..., xn ) =0,      ( x ∈D ⊂ � ) ;
                                                                  n
                                                                                 (1.9)
                      k =1 ∂xk

                ∂2      ∂2      ∂2
                    u +     u +     u =0 , ( x ∈D ⊂ �3 ) .           (1.10)
               ∂x 2
                       ∂y 2
                               ∂z 2


     Уравнению Лапласа удовлетворяют установившаяся в однородном
изотропном теле температура, среднее напряжение в твердом
деформируемом теле, потенциалы поля тяготения и стационарного
электрического поля.
     Определение.       Функция        u ( x ) называется гармонической в
ограниченной области D , если она в этой области имеет все непрерывные
частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет
уравнению Лапласа.
     Определение. Функция u ( x ) называется гармонической в области
D , имеющей выходы на бесконечность, если она в этой области имеет все
непрерывные частные производные до второго порядка включительно,
удовлетворяет уравнению Лапласа в D и равномерно стремится к нулю
при стремлении точки x в бесконечность (функция u ( x ) → 0 при x → ∞
равномерно, если для любого ε >0 можно указать A >0 так, что
u ( x, y, z ) <ε при | x | ≥A .
     Замечание. Предполагается, что граница ∂D области D состоит из
конечного числа замкнутых поверхностей.
                                                         1
     Лемма 1. Пусть     x ∈D ⊂ �3 , x0 ∉D . Функция u = ,       где
                                                         r
             1
r =| x −x0 | = ( x1 −x10 ) 2 +( x2 −x20 ) 2 +( x3 −x30 ) 2 ,
             2
                                                               является гармонической
функцией переменной x ∈ D .
     Доказательство проведем с помощью непосредственной проверки.
Обозначим для удобства p =( p1 , p2 , p3 ) =( x, y, z ) . Имеем