Уравнения с частными производными: Сборник заданий по курсу. Глушко В.П - 21 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Задание 24. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
1024 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
81
,
-
11
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
486
H-9 + 16 y
2
L, -
121
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
5184
, -
836 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
81 H9 + 16 y
2
L
,
121 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
162 H9 + 16 y
2
L
,0=;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
4
ÅÅÅÅÅ
9
J4 - 2 CosA
4y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
EN, -
8
ÅÅÅÅÅ
3
SinA
2y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
E,4,0,
16 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9
,0=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9y
4
, -
1
ÅÅÅÅÅ
2
y
2
TanA
x
ÅÅÅÅÅ
2
E,
1
ÅÅÅÅÅ
4
TanA
x
ÅÅÅÅÅ
2
E
2
, -
y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
,0,
1
ÅÅÅÅÅ
4
=.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
Задание 25. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
836, -24 Sin@4xD, -16 Cos@4xD
2
,0,-96 Cos@4xD,0<;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
225
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
16
, -
375 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
16
,
3125 x
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
64
,0,0,-
84375 x H-80 + 25 x
2
- 20 yL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1024
=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
836 Tan@6xD
2
, -216 y Tan@6xD, 1296 y
2
, -216 Tan@6xD
3
,0,0<.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
21
                                                                                     21



Задание № 24. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*
   ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0

1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
                                                                                                            1024 y2
                                                                                                                  81
        - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H-9 + 16 y2 L, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                              81 H9 + 16 y L 162 H9 + 16 y2 L
            11                            121                           836 y                                         121 y
                                                                                                                                     ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;

2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
           486                           5184


   9 ÅÅÅÅÅ J4 - 2 CosA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ EN, - ÅÅÅÅÅ SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E, 4, 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
      4                 4y               8          2y                  16 y

3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
      9                   3              3            3                    9


   9y4 , - ÅÅÅÅÅ y2 TanA ÅÅÅÅÅ E, ÅÅÅÅÅ TanA ÅÅÅÅÅ E , - ÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, ÅÅÅÅÅ =.
            1             x 1                 x 2         y2            1
            2             2 4                 2            2            4
Построить характеристики для этого уравнения,
 если это возможно, или соответствующую
 криволинейную систему координат. Если уравнение
 меняет тип, то привести его к каноническому
 виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
Задание № 25. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*


1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
   ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0

   836, -24 Sin@4 xD, -16 Cos@4 xD2 , 0, -96 Cos@4 xD, 0<;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
                                                                              84375 x H-80 + 25 x2 - 20 yL
   9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, 0, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ                      ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =;
      225              375 x 3125 x2
                                                                                                        ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
       16                 16                     64                                                        1024


   836 Tan@6 xD2 , -216 y Tan@6 xD, 1296 y2 , -216 Tan@6 xD3 , 0, 0<.
Построить характеристики для этого уравнения,
 если это возможно, или соответствующую
 криволинейную систему координат. Если уравнение
 меняет тип, то привести его к каноническому
 виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.