Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 3 стр.

      Методические указания включают в себя конспекты первой части
курса «Уравнения с частными производными», читаемого на 3 курсе мате-
матического факультета ВГУ. Изложение материала основано на учебни-
ках [1]–[3].

                                 § 1. Некоторые определения и обозначения

     Определение.
     Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее
производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от
одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение,
иначе – уравнение в частных производных.
     Определение.
     Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в
уравнение, называется порядком уравнения.
     Определение.
     Дифференциальное уравнение называется линейным, если производ-
ные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
Приведем вид линейного уравнения с частными производными второго
порядка
  n                                 n

∑ a ( x)u
i , j =1
           ij      xi x j   ( x ) + ∑ bi ( x)u xi ( x) + c( x)u ( x) = f ( x), x = ( x1 ,..., xn ) ∈ Q ⊂
                                   i =1
                                                                                                           n
                                                                                                               . (1.1)

                Пусть выбран любой целочисленный вектор α = (α1 ,...,α n ) , где
α i ≥ 0,α i ∈ , называемый мультииндексом; зададим его норму, как:
| α | = α1 + ... + α n , по этому целочисленному вектору введем дифференци-
                                                    α1                αn
                     ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞          α
альный оператор D = ⎜       ⎟ ...⎜   ⎟ . Уравнение (1.1) с помощью вве-
                     ⎝ ∂ x1 ⎠ ⎝ ∂ xn ⎠
денного оператора можно записать в виде
                                                         ∑
                                                         α
                                                           aα ( x) Dα u ( x) = f ( x) .
                                                         | | ≤2
                                                                                                                (1.2)

                Определение.
                Открытое, связное множество Q ⊂                            n
                                                                               называется областью. По
умолчанию будем считать область ограниченной.

                                                                  3