Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
1. Если n
+
= n или n
−
= n, то уравнение (1.1) называется эллиптическим.
Пример 1.
Уравнение Пуассона: , ,
n
ufxΔ= ∈ где
22
22
1
= ...
n
x
x
∂
∂
Δ++
∂
∂
– эл-
липтическое. Для уравнения Пуассона:
1 0 ... 0
0 1 ... ...
... ... ... ...
0 ... ... 1
nn
A
×
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
2. Если n
+
= n – 1, n
−
= 1, или n
+
= 1, n
−
= n – 1, то уравнение называется
гиперболическим
.
Пример 2.
Волновое уравнение ,,0
n
tt
uufx t
−
Δ= ∈ > –
гиперболическое. Для волнового уравнения:
(1)(1)
10 ...0
0 1 ... ...
... ... ... ...
0... ... 1
nn
A
+× +
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
.
3. Если 1n
+
> ,
0
11, 0nn n
−
<<− =, то уравнение называется ультрагипер-
болическим.
Пример 3
. Уравнение
11 22 33 44
0
xx x x xx xx
uu uu
+
−−=,
4
1234
{, , , }xxxx ∈
ультрагиперболическое.
4. Если
0
0n ≠ , то уравнение называется параболическим (если
0
0n ≠ и од-
но из чисел n
+
или n
−
равно (1n
−
), то уравнение называется нормально-
параболическим).
Пример 4.
Уравнение теплопроводности ,,0
n
t
uufx t
−
Δ= ∈ > –
параболическое (даже нормально-параболическое). Для него
(1)(1)
00 ...0
0 1 ... ...
... ... ... ...
0... ... 1
nn
A
+× +
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Определение.
Каноническим видом
линейного дифференциального уравнения в
частных производных второго порядка называется такой его вид, в кото-
ром матрица A является диагональной. 
1. Если n + = n или n − = n, то уравнение (1.1) называется эллиптическим.
                                                                           ∂2           ∂2
Пример 1. Уравнение Пуассона: Δu = f , x ∈               n
                                                             , где Δ =          + ... +      – эл-
                                                                           ∂x12         ∂xn2
                                                     ⎛1        0 ... 0 ⎞
                                                     ⎜0        1 ... ... ⎟⎟
липтическое. Для уравнения Пуассона: An×n           =⎜                       .
                                                     ⎜ ...     ... ... ... ⎟
                                                     ⎜                     ⎟
                                                     ⎝0        ... ... 1 ⎠
2. Если n + = n – 1, n − = 1, или n + = 1, n − = n – 1, то уравнение называется
гиперболическим.
      Пример 2. Волновое уравнение utt − Δu = f , x ∈                  n
                                                                           , t >0 –
                                                                      ⎛1        0 ... 0 ⎞
                                                                      ⎜0        −1 ... ... ⎟⎟
гиперболическое. Для волнового уравнения: A( n+1)×( n+1)             =⎜                       .
                                                                      ⎜ ...     ... ... ... ⎟
                                                                      ⎜                     ⎟
                                                                      ⎝0        ... ... −1⎠
3. Если n + > 1 , 1 < n − < n − 1, n 0 = 0 , то уравнение называется ультрагипер-
болическим.
      Пример 3. Уравнение        u x1x1 + u x2 x2 − u x3 x3 − u x4 x4 = 0 , {x1 , x2 , x3 , x4 } ∈   4


ультрагиперболическое.
4. Если n0 ≠ 0 , то уравнение называется параболическим (если n0 ≠ 0 и од-
но из чисел n + или n − равно ( n − 1 ), то уравнение называется нормально-
параболическим).
      Пример 4. Уравнение теплопроводности ut − Δu = f , x ∈                            n
                                                                                            ,t>0 –
параболическое (даже нормально-параболическое). Для него
          ⎛0     0 ... 0 ⎞
          ⎜0     −1 ... ... ⎟⎟
         =⎜
A( n+1)×( n+1)                 .
          ⎜ ...  ... ... ... ⎟
          ⎜                  ⎟
          ⎝0     ... ... −1⎠
         Определение.
         Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в
частных производных второго порядка называется такой его вид, в кото-
ром матрица A является диагональной.

                                          5

Страницы