Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Пример 5. Уравнение (, )
xy
ufxy
=
имеет матрицу
A
вида
012
12 0
A
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, характеристический многочлен имеет вид
0,5
det
0,5
λ
λ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
следовательно,
0,5
λ
=
± . Канонический вид уравнения
11
22
xx yy
uuf
′′ ′′
−=,
следовательно, это гиперболическое уравнение (волновое).
Замечание
. Тип уравнения может быть различный в различных точ-
ках области.
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с
двумя независимыми переменными.
В случае двух независимых переменных уравнение (2.1) имеет сле-
дующий вид
222
22
(, ) (, ) (, )
(, ) 2(, ) (, ) (, ,, , ) 0
uxy uxy uxy u u
axy bxy cxy xyu
xxyyxy
∂∂∂ ∂∂
+
++Φ=
∂∂∂∂∂∂
,
(2.5)
где (, ), (, ), (, )axy bxy cxy – коэффициенты при старших производных,
(, ,, , )
uu
xyu
x
y
∂∂
Φ
∂∂
– младшие члены уравнения, независимые перемен-
ные
2
(, )xy Q∈⊂ . В соответствии с общей классификацией уравнений в
частных производных второго порядка, уравнение (2.5) принадлежит
гиперболическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
> ,
эллиптическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
< ,
параболическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
= .
Для того, чтобы привести уравнение (2.5) к каноническому виду,
введем независимые переменные
( , ) : ( , ), ( , )
x
yxy
ηξξ ηη
=
= , (2.6)
причем предполагается, что якобиан преобразования
(, ) (, ) (, ) (, )
(, ) 0
xy xy xy xy
xy
xy yx
ξ
ηξη
δ
∂∂ ∂∂
=⋅−⋅≠
∂∂ ∂∂
. (2.7)
Говорят, что уравнение (2.5) приведено в новых переменных (,)
ξ
η
к кано-
ническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом
случае 
         Пример         5. Уравнение               u xy = f ( x, y )     имеет        матрицу          A     вида
  ⎛ 0 1 2⎞                                               ⎛ λ 0,5 ⎞
A=⎜       ⎟ , характеристический многочлен имеет вид det ⎜       ⎟,
  ⎝ 1 2 0 ⎠                                              ⎝ 0,5 λ ⎠
                                                       1          1
следовательно, λ = ±0,5 . Канонический вид уравнения      u x′x′ − u y′y′ = f ,
                                                        2         2
следовательно, это гиперболическое уравнение (волновое).
      Замечание. Тип уравнения может быть различный в различных точ-
ках области.
      Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с
двумя независимыми переменными.
      В случае двух независимых переменных уравнение (2.1) имеет сле-
дующий вид
               ∂ 2u ( x , y )                ∂ 2u ( x , y )               ∂ 2u ( x , y )                   ∂u ∂u
    a ( x, y )                + 2b ( x , y )                + c ( x , y )                + Φ ( x , y , u ,   , ) = 0,
                  ∂x 2                          ∂x∂y                         ∂y 2                          ∂x ∂y
                                                                         (2.5)
где a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ) – коэффициенты при старших производных,
                 ∂u ∂u
Φ ( x, y , u ,     , ) – младшие члены уравнения, независимые перемен-
                 ∂x ∂y
ные ( x, y ) ∈ Q ⊂        2
                              . В соответствии с общей классификацией уравнений в
частных производных второго порядка, уравнение (2.5) принадлежит
гиперболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) > 0 ,
эллиптическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) < 0 ,
параболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) = 0 .
     Для того, чтобы привести уравнение (2.5) к каноническому виду,
введем независимые переменные
                        (ξ ,η ) : ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ) , (2.6)
причем предполагается, что якобиан преобразования
                           ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y ) ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y )
              δ ( x, y ) =            ⋅           −           ⋅            ≠ 0.                               (2.7)
                              ∂x          ∂y          ∂y          ∂x
Говорят, что уравнение (2.5) приведено в новых переменных (ξ ,η ) к кано-
ническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае


                                                         7

Страницы