ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
Пример 5. Уравнение (, )
xy
ufxy
=
имеет матрицу
A
вида
012
12 0
A
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, характеристический многочлен имеет вид
0,5
det
0,5
λ
λ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
следовательно,
0,5
λ
=
± . Канонический вид уравнения
11
22
xx yy
uuf
′′ ′′
−=,
следовательно, это гиперболическое уравнение (волновое).
Замечание
. Тип уравнения может быть различный в различных точ-
ках области.
Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с
двумя независимыми переменными.
В случае двух независимых переменных уравнение (2.1) имеет сле-
дующий вид
222
22
(, ) (, ) (, )
(, ) 2(, ) (, ) (, ,, , ) 0
uxy uxy uxy u u
axy bxy cxy xyu
xxyyxy
∂∂∂ ∂∂
+
++Φ=
∂∂∂∂∂∂
,
(2.5)
где (, ), (, ), (, )axy bxy cxy – коэффициенты при старших производных,
(, ,, , )
uu
xyu
x
y
∂∂
Φ
∂∂
– младшие члены уравнения, независимые перемен-
ные
2
(, )xy Q∈⊂ . В соответствии с общей классификацией уравнений в
частных производных второго порядка, уравнение (2.5) принадлежит
гиперболическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
> ,
эллиптическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
< ,
параболическому типу, если
2
(, ) (, )(, ) 0bxy axycxy
−
= .
Для того, чтобы привести уравнение (2.5) к каноническому виду,
введем независимые переменные
( , ) : ( , ), ( , )
x
yxy
ξ
ηξξ ηη
=
= , (2.6)
причем предполагается, что якобиан преобразования
(, ) (, ) (, ) (, )
(, ) 0
xy xy xy xy
xy
xy yx
ξ
ηξη
δ
∂∂ ∂∂
=⋅−⋅≠
∂∂ ∂∂
. (2.7)
Говорят, что уравнение (2.5) приведено в новых переменных (,)
ξ
η
к кано-
ническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом
случае
Пример 5. Уравнение u xy = f ( x, y ) имеет матрицу A вида ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ λ 0,5 ⎞ A=⎜ ⎟ , характеристический многочлен имеет вид det ⎜ ⎟, ⎝ 1 2 0 ⎠ ⎝ 0,5 λ ⎠ 1 1 следовательно, λ = ±0,5 . Канонический вид уравнения u x′x′ − u y′y′ = f , 2 2 следовательно, это гиперболическое уравнение (волновое). Замечание. Тип уравнения может быть различный в различных точ- ках области. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. В случае двух независимых переменных уравнение (2.1) имеет сле- дующий вид ∂ 2u ( x , y ) ∂ 2u ( x , y ) ∂ 2u ( x , y ) ∂u ∂u a ( x, y ) + 2b ( x , y ) + c ( x , y ) + Φ ( x , y , u , , ) = 0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y (2.5) где a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ) коэффициенты при старших производных, ∂u ∂u Φ ( x, y , u , , ) младшие члены уравнения, независимые перемен- ∂x ∂y ные ( x, y ) ∈ Q ⊂ 2 . В соответствии с общей классификацией уравнений в частных производных второго порядка, уравнение (2.5) принадлежит гиперболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) > 0 , эллиптическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) < 0 , параболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) = 0 . Для того, чтобы привести уравнение (2.5) к каноническому виду, введем независимые переменные (ξ ,η ) : ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ) , (2.6) причем предполагается, что якобиан преобразования ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y ) ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y ) δ ( x, y ) = ⋅ − ⋅ ≠ 0. (2.7) ∂x ∂y ∂y ∂x Говорят, что уравнение (2.5) приведено в новых переменных (ξ ,η ) к кано- ническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае 7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »