Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 8 стр.

                                 ∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η )                 ∂v ∂v
                                            −            + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0                     (2.8.1)
                                    ∂ξ 2
                                                ∂η 2
                                                                         ∂ξ ∂η
или
                                          ∂ 2v(ξ ,η )                 ∂v ∂v
                                                      + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0,                       (2.8.2)
                                            ∂ξ∂η                      ∂ξ ∂η
в эллиптическом случае
                                    ∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η )                 ∂v ∂v
                                               +            + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0 ,                 (2.9)
                                       ∂ξ 2
                                                   ∂η 2
                                                                            ∂ξ ∂η
в параболическом случае
 ∂ 2v(ξ ,η )               ∂v ∂v        ∂ 2v(ξ ,η )                ∂v ∂v
             + Φ (ξ ,η , v, , ) = 0 или
                ∗
                                                    + Φ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0 . (2.10)
    ∂η 2
                           ∂ξ ∂η           ∂ξ 2
                                                                   ∂ξ ∂η
Здесь v(ξ ( x, y ),η ( x, y )) = u ( x, y ) .
     Для того, чтобы найти преобразование (2.6) с условием (2.7), приво-
дящее уравнение (2.5) к одному из трех канонических видов, совершим
преобразование, обратное (2.6) x = ψ 1 (ξ ,η ), y = ψ 2 (ξ ,η ) . Для перехода к
новым неизвестным воспользуемся формулами (2.4), получим из (2.5)
уравнение
               ∂ 2v(ξ ,η )       ∂ 2v(ξ ,η )     ∂ 2v(ξ ,η )                   ∂v ∂v
           A               + 2 B             + C             + Φ ∗
                                                                   (ξ ,η , v ,   , ) = 0,             (2.11)
                  ∂ 2ξ             ∂ξ∂η             ∂ 2η                       ∂ξ ∂η
где A = A( x, y ) x =ψ 1 (ξ ,η ), ; B = B( x, y ) x=ψ1 (ξ ,η ), ; C = C ( x, y ) x =ψ 1 (ξ ,η ), и
                       y =ψ 2 (ξ ,η )                y =ψ 2 (ξ ,η )                  y =ψ 2 (ξ ,η )

                        2                               2
              ⎛ ∂ξ ⎞  ∂ξ ∂ξ    ⎛ ∂ξ ⎞
A( x, y ) = a ⎜ ⎟ + 2b ⋅    + c⎜ ⎟ ;
              ⎝ ∂x ⎠  ∂x ∂y    ⎝ ∂y ⎠
                        2                                 2
               ⎛ ∂η ⎞      ∂η ∂η      ⎛ ∂η ⎞
C ( x, y ) = a ⎜    ⎟ + 2b    ⋅    + c⎜    ⎟ ;
               ⎝ ∂x ⎠      ∂x   ∂y    ⎝ ∂y ⎠
                      ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞
        B( x, y ) = a ⎜ ⎟⎜       ⎟ + b⎜ ⋅ +  ⋅ ⎟ + c ⎜ ⎟⎜     ⎟.                                      (2.12)
                      ⎝ ∂x ⎠⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎝ ∂y ⎠
         Замечание 1. Проверить непосредственно, что
         B 2 ( x, y ) − A( x, y )C ( x, y ) = (b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c ( x, y ))δ 2 ( x, y ) .
Из замечания, условия (2.7) и определения типа уравнения следует, что
уравнение (2.5) не меняет типа при неособой замене переменных.


                                                         8