Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
0;
0.
b
ddxdy dxdy
x
ya y
b
ddxdy dxdy
x
ya y
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
⎡
⎛⎞
∂∂ +Δ ∂
== + =− +
⎢
⎜⎟
∂∂ ∂
⎢
⎝⎠
⎢
⎛⎞
∂∂ −Δ ∂
⎢
== + =− +
⎜⎟
⎢
∂∂ ∂
⎝⎠
⎣
Отсюда
()0;
()0.
ady b dx
ady b dx
⎡
−
+Δ =
⎢
−
−Δ =
⎢
⎣
(2.15)
После деления уравнений совокупности (2.15) на dx получаем совокуп-
ность обыкновенных дифференциальных уравнений
11 1 1
22 2 2
(, ()) () ((, ()) (, ()) 0;
(, ()) () ((, ()) (, ()) 0.
axy x y x bxy x xy x
axy x y x bxy x xy x
⎡
′
−
+Δ =
⎢
⎢
′
−
−Δ =
⎣
(2.16)
При условиях достаточной гладкости коэффициентов (, ),(, ),(, )axy bxy cxy
у уравнений (2.16) существуют однопараметрические семейства решений
1
2
()
()
yyx const
yyx const
=+
⎡
⎢
=+
⎣
. Обозначим
112 2
(, ) (); (, ) ()
yyyx xyyyx
ϕ
ϕ
=
−=−. Оче-
видно,
1
(, )
x
y
ϕ
и
2
(, )
x
y
ϕ
– первые интегралы соответствующих уравнений
совокупности (2.14).
Определение
. Кривые
1
(, )
x
yconst
ϕ
=
и
2
(, )
x
yconst
ϕ
=
называются
характеристиками
уравнения (2.5), а уравнение (2.13) – уравнением харак-
теристик.
По построению функций
1
(, )
x
y
ϕ
и
2
(, )
x
y
ϕ
при замене
12
(, ), (, )
x
yxy
ξ
ϕηϕ
=
= (2.17)
коэффициенты 0, 0
A
C
=
= , а коэффициент
B
в силу замечания 1 имеет
вид
22
(, ) (, ) 0.Bxyxy
δ
=Δ > Покажем, что при такой замене (, ) 0
x
y
δ
≠ .
Действительно, т.к.
(, ) (), 1,2
kk
xy y y x k
ϕ
=
−=, где ()
k
yx− решение
уравнения
12
(, ) (1) (, ) (, )(, )
()
(, )
k
k
bxy bxy axycxy
yx
axy
+
+− −
′
=
, то, во-первых,
1
k
y
ϕ
∂
=
∂
, во-вторых, с учетом (2.7) 
                    ⎡          ∂ϕ      ∂ϕ      ⎛ b+ Δ            ⎞ ∂ϕ
                    ⎢ 0 = dϕ =    dx +    dy = ⎜ −       dx + dy ⎟ ;
                    ⎢          ∂x      ∂y      ⎝      a          ⎠ ∂y
                    ⎢
                    ⎢ 0 = dϕ = ∂ϕ dx + ∂ϕ dy = ⎛ − b − Δ dx + dy ⎞ ∂ϕ .
                    ⎢                          ⎜                 ⎟
                    ⎣          ∂x      ∂y      ⎝      a          ⎠ ∂y
Отсюда
                          ⎡ ady − (b + Δ )dx = 0;
                          ⎢                                   (2.15)
                          ⎢⎣ ady − (b − Δ )dx = 0.
После деления уравнений совокупности (2.15) на dx получаем совокуп-
ность обыкновенных дифференциальных уравнений
                ⎡ a ( x, y ( x)) y ′ ( x) − (b( x, y ( x )) + Δ ( x, y ( x)) = 0;
                ⎢         1        1                 1                 1
                                                                                    (2.16)
                ⎢ a ( x, y2 ( x)) y2′ ( x) − (b( x, y2 ( x )) − Δ( x, y2 ( x)) = 0.
                ⎣
При условиях достаточной гладкости коэффициентов a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y )
у уравнений (2.16) существуют однопараметрические семейства решений
⎡ y = y1 ( x) + const
⎢ y = y ( x ) + const . Обозначим ϕ1 ( x, y ) = y − y1 ( x); ϕ2 ( x, y ) = y − y2 ( x ) . Оче-
⎣      2

видно, ϕ1 ( x, y ) и ϕ2 ( x, y ) – первые интегралы соответствующих уравнений
совокупности (2.14).
     Определение. Кривые ϕ1 ( x, y ) = const и ϕ 2 ( x, y ) = const называются
характеристиками уравнения (2.5), а уравнение (2.13) – уравнением харак-
теристик.
     По построению функций ϕ1 ( x, y ) и ϕ 2 ( x, y ) при замене
                                           ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ2 ( x, y )                       (2.17)
коэффициенты A = 0, C = 0 , а коэффициент B в силу замечания 1 имеет
вид B 2 = Δ ( x, y )δ 2 ( x, y ) > 0. Покажем, что при такой замене δ ( x, y) ≠ 0 .
        Действительно, т.к. ϕk ( x, y ) = y − yk ( x), k = 1,2 , где yk ( x) − решение
                                           k +1
                      b ( x , y ) + ( − 1)      b ( x , y ) 2
                                                              − a ( x , y )c ( x , y )
уравнения yk ′ ( x) =                                                                  , то, во-первых,
                                                a ( x, y )
∂ϕ k
     = 1 , во-вторых, с учетом (2.7)
 ∂y


                                                    10

Страницы