Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 11 стр.

                 ∂ϕ1 ( x, y ) ∂ϕ 2 ( x, y ) ∂ϕ1 ( x, y ) ∂ϕ2 ( x, y ) ∂ϕ1 ( x, y ) ∂ϕ2 ( x, y )
  δ ( x, y ) =               ⋅             −                 ⋅               =              −    =
                    ∂x             ∂y               ∂y              ∂x              ∂x        ∂x
                                             2
                 = y1′ ( x) − y2′ ( x) =              b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) ≠ 0,
                                         a ( x, y )
т.е. якобиан перехода к новым переменным отличен от нуля при выполне-
нии условия гиперболичности b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) > 0 . Так как B ≠ 0 , то
после деления уравнения (2.11) на 2B мы приходим к каноническому виду
(2.8.2) уравнения (2.5). Отметим также, что новая замена переменных
ξ = ξ + η ; η = ξ − η позволяет перейти от канонического вида (2.8.2) к ка-
ноническому виду (2.8.1).
         2. Эллиптический тип уравнения: b 2 − ac < 0 .
         Уравнение (2.13) в этом случае можно записать (после умножения на
a ( x, y ) ≠ 0 ) в виде
                           ⎛             ∂ϕ ∂ϕ                                   ⎞
                           ⎜ a ( x , y )   +   (b ( x , y ) + i | Δ ( x , y ) |) ⎟×
                           ⎝             ∂x ∂y                                   ⎠
                                                                                            (2.18)
                           ⎛            ∂ϕ ∂ϕ                                ⎞
                         × ⎜ a ( x, y )   +   (b( x, y ) − i | Δ ( x, y ) |) ⎟ = 0.
                           ⎝            ∂x ∂y                                ⎠
      Как и в первом случае гиперболического уравнения, равенство (2.18)
равносильно совокупности двух уравнений первого порядка. Рассмотрим
первое из них
                                ∂ϕ ∂ϕ
                     a ( x, y )   +       (b( x, y ) + i | Δ ( x, y ) |) = 0. (2.19)
                                ∂x ∂y
Исследуя это уравнение аналогично уравнениям (2.14), отметим, что его
решения комплекснозначны. Пусть решение уравнения (2.19) представле-
но в виде
                                  ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) + iϕ2 ( x, y ) ,   (2.20)
где ϕ1 ( x, y ), ϕ 2 ( x, y ) − вещественнозначные функции. Легко убедиться в
том, что решения второго из уравнений совокупности
                                 ∂ϕ ∂ϕ
                      a ( x, y )   +   (b( x, y ) − i | Δ ( x, y ) |) = 0                   (2.21)
                                 ∂x ∂y
представимы в виде ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) − iϕ2 ( x, y ) . Таким образом, достаточно
рассмотреть лишь уравнение (2.19). С помощью функций ϕ1 ( x, y ),ϕ2 ( x, y )
построим преобразование
                                                   11