Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 9 стр.

         Дальнейший выбор преобразования (2.6) зависит от типа уравнения
(2.5).
     1. Гиперболический тип уравнения b 2 − ac > 0 .
Подберем преобразование (2.6) таким образом, чтобы A = 0 и C = 0 для
рассматриваемых значений ξ = ξ ( x, y), η = η ( x, y ) . Будем предполагать, не
ограничивая общности, что для рассматриваемых ( x, y) a( x, y ) ≠ 0 (в про-
тивном случае можно считать c( x, y ) ≠ 0 , так как если a( x, y ) = c( x, y ) = 0 ,
то b 2 ( x, y ) > 0 и уравнение (2.5) уже имеет канонический вид). Как видно
из (2.12), для выполнения условий A = 0 и C = 0 следует найти решения и
 ξ = ξ ( x, y ) и η = η ( x, y ) уравнения
                                     2                                        2
                                ⎛ ∂ϕ ⎞              ∂ϕ ∂ϕ                ⎛ ∂ϕ ⎞
                     a ( x, y ) ⎜    ⎟ + 2b( x, y )    ⋅    + c ( x, y ) ⎜    ⎟ = 0,       (2.13)
                                ⎝ ∂x ⎠              ∂x   ∂y              ⎝ ∂y ⎠
удовлетворяющие условию (2.7). Однородное (второй степени однородно-
                  ∂ϕ ∂ϕ
сти) относительно   ,   уравнение (2.13) легко разложить на множите-
                  ∂x ∂y
ли и записать в виде (ниже Δ = b 2 − ac )
⎛            ∂ϕ ∂ϕ                            ⎞⎛           ∂ϕ ∂ϕ                            ⎞
⎜ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) + Δ ( x, y )) ⎟⎜ a( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) − Δ ( x, y )) ⎟ = 0 .
⎝                                             ⎠⎝                                            ⎠
Таким образом, нелинейное уравнение (2.13) распалось на совокупность
двух линейных уравнений первого порядка
                            ⎡             ∂ϕ ∂ϕ
                            ⎢ a ( x , y )   +   (b( x, y ) + Δ( x, y )) = 0;
                                          ∂x ∂y
                            ⎢                                                              (2.14)
                            ⎢             ∂ϕ ∂ϕ
                            ⎢ a ( x , y )   +   (b( x, y ) − Δ( x, y )) = 0.
                            ⎣             ∂x ∂y


Для решения уравнений (2.14) составим соответствующую им совокуп-
ность обыкновенных дифференциальных уравнений из следующих сооб-
ражений. Найдем первые интегралы для этих уравнений, т.е. функции
ϕ ( x, y ) , при которых уравнения (2.14) будут равносильны однопараметри-
ческим функциональным уравнениям ϕ ( x, y) = const. Имеем с помощью
(2.14):


                                                9