Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 13 стр.

Пусть ϕ1 ( x, y ) ≠ const – решение уравнения (2.25) (или уравнения (2.26)).
Положим
                                                  ξ = ϕ1 ( x, y ) .           (2.27)
Обозначим k ( x, y ) = b( x, y ) / a ( x, y ) . Из (2.12) имеем
                       ⎛ ⎛ ∂ξ ⎞ 2 2b ∂ξ ∂ξ c ⎛ ∂ξ ⎞ 2 ⎞    ⎛ ∂ξ    ∂ξ ⎞
                                                                        2

         A( x, y ) = a ⎜ ⎜ ⎟ +         ⋅  +           ⎟ = a⎜    +k    ⎟ ;     (2.28)
                       ⎜ ⎝ ∂x ⎠ a ∂x ∂y a ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟       ⎝ ∂x    ∂y ⎠
                       ⎝                              ⎠
                         ⎛ ⎛ ∂η ⎞2 2b ∂η ∂η c ⎛ ∂η ⎞2 ⎞    ⎛ ∂η    ∂η ⎞
                                                                        2

          C ( x, y ) = a ⎜ ⎜      +     ⋅  +          ⎟ = a⎜    +k    ⎟ ;     (2.29)
                         ⎜ ⎝ ∂x ⎠⎟ a ∂x ∂y a ⎝⎜ ∂y ⎠⎟ ⎟    ⎝ ∂x    ∂y ⎠
                         ⎝                            ⎠
                        ⎛ ∂ξ ∂η b ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ c ∂ξ ∂η ⎞
           B( x, y) = a ⎜ ⋅ + ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ +              ⋅ ⎟=
                        ⎝ ∂x ∂x a ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ a ∂y  ∂y ⎠
                                                                (2.30)
     ⎛ ∂ξ ∂η  ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ 2 ∂ξ ∂η ⎞ ⎛ ∂ξ      ∂ξ ⎞⎛ ∂η ∂η ⎞
 = a ⎜ ⋅ + k ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ +k         ⋅ ⎟=a        + k ⎟⎜ + k ⎟.
     ⎝ ∂x ∂x  ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠   ∂y ∂y ⎠ ⎜⎝ ∂x     ∂y ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠
В качестве второй функции
                              η = ϕ 2 ( x, y )                  (2.31)
можно взять, вообще говоря, любую гладкую функцию ϕ 2 ( x, y ) , обеспечи-
вающую отличие от нуля якобиана преобразования исходного уравнения к
уравнению с коэффициентами (2.28)–(2.30). После проведенных преобра-
                                                            ∂η    ∂η
зований из (2.26) и (2.27) получаем A = B = 0 , C = a −1 (a    + b ) 2 , что
                                                            ∂x    ∂y
приводит уравнение (2.5) к каноническому виду (2.10).

       § 3. Постановка начальных, краевых и начально-краевых задач для
                       уравнений в частных производных
         Уравнение Пуассона (простейший пример эллиптического уравне-
ния)
                                         Δu = f ;      x ∈Q ⊂         n
                                                                          .    (3.1)
     Уравнение Пуассона должно быть дополнено одним из следующих
краевых условий
     1. Первое краевое условие (условие Дирихле):
                             u |∂ Q = ψ ( x); x ∈ ∂Q .       (3.2)



                                             13