Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
2. Второе краевое условие (условие Неймана):
(),
Q
u
x
xQ
n
∂
∂
ψ
∂
=
∈∂ (3.3)
– (здесь n − направление внешней нормали к поверхности Q∂ в точ-
ке
x
Q∈∂ .
3.
Третье краевое условие
(),
Q
u
uxxQ
n
∂
σψ
∂
⎛⎞
+
=∈∂
⎜⎟
∂
⎝⎠
. (3.4)
Задача (3.1), (3.2) называется первой краевой задачей (задачей Ди-
рихле), задача (3.1), (3.3) называется второй краевой задачей (задачей
Неймана), задача (3.1), (3.4) называется третьей краевой задачей.
Волновое уравнение
(простейший пример гиперболического уравне-
ния).
(
)
(, ), (, ) ; 0; .
tt T T
uuftxtxQQ TQ−Δ = ∈ = × (3.5.1)
Задача Коши для волнового уравнения имеет вид
(здесьT =∞)
0
0
(,), ( 0, );
| ( ), ;
| ( ), .
n
tt
n
t
n
tt
uufxtt x
uxx
uxx
ϕ
ψ
=
=
⎧
−Δ = > ∈
⎪
=∈
⎨
⎪
=∈
⎩
(3.5.2)
(3.6)
(3.7)
Введем обозначения
{, |0 ; }
T
tx t T x QΓ= << ∈∂ ,
0
{, | 0, }
D
tx t x Q
=
=∈,
{, | , }
T
tx t T x Q==∈, n −
направление внешней
нормали к поверхности Q∂ в точке
x
Q
∈
∂ .
Первая краевая задача (задача Дирихле) для
волнового уравнения имеет вид
(
)
00
(,), , ;
|(), ; | (), ;
(, ), (, ) .
tt T
ttt
T
uufxtxtQ
u x xQu x xQ
utxtx
ϕψ
ψ
==
−Δ = ∈
⎧
⎪
=∈=∈
⎨
⎪
=∈Γ
⎩
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Вторая краевая задача (задача Неймана) для волнового уравнения
отличается от первой краевой задачи тем, что вместо условия (3.10) в ней
присутствует условие
t
T
D
n
T
Q
T
Γ
0
0
D
n
x
1
x
       2. Второе краевое условие (условие Неймана):
                                        ∂u
                                               = ψ ( x), x ∈ ∂Q                              (3.3)
                                        ∂ n ∂Q
– (здесь n − направление внешней нормали к поверхности ∂Q в точ-
ке x ∈ ∂Q .
       3. Третье краевое условие
                                     ⎛ ∂u    ⎞
                                     ⎜ + σ u ⎟ = ψ ( x),            x ∈ ∂Q .                 (3.4)
                                     ⎝ ∂n    ⎠ ∂Q
      Задача (3.1), (3.2) называется первой краевой задачей (задачей Ди-
рихле), задача (3.1), (3.3) называется второй краевой задачей (задачей
Неймана), задача (3.1), (3.4) называется третьей краевой задачей.
      Волновое уравнение (простейший пример гиперболического уравне-
ния).
                     utt − Δu = f (t , x ), (t , x ) ∈ QT ; QT = ( 0; T ) × Q.          (3.5.1)
Задача Коши для волнового уравнения имеет вид
(здесьT = ∞ )                                                                     t

  ⎧utt − Δu = f ( x, t ), (t > 0, x ∈     n
                                              );        (3.5.2)                   DT
  ⎪
  ⎨u |t =0 = ϕ ( x), x ∈ ;
                           n
                                                        (3.6)
  ⎪u | = ψ ( x), x ∈ n .                                (3.7)
  ⎩ t t =0                                                              n         QT    ΓT
      Введем обозначения
ΓT = {t , x | 0 < t < T ; x ∈ ∂Q} , D0 = {t , x | t = 0, x ∈ Q} ,
                                                                                 0 D0         xn
DT = {t , x | t = T , x ∈ Q} , n − направление внешней
нормали к поверхности ∂Q в точке x ∈ ∂Q .                                x1

     Первая краевая задача (задача Дирихле) для
волнового уравнения имеет вид
                       ⎧utt − Δu = f ( x, t ), ( x, t ) ∈ QT ;                           (3.8)
                       ⎪
                       ⎨u |t =0 = ϕ ( x ), x ∈ Q; ut |t =0 = ψ ( x ), x ∈ Q;             (3.9)
                       ⎪u = ψ (t , x ), (t , x ) ∈ Γ .                                  (3.10)
                       ⎩                            T

     Вторая краевая задача (задача Неймана) для волнового уравнения
отличается от первой краевой задачи тем, что вместо условия (3.10) в ней
присутствует условие


                                                   14

Страницы