Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
(), (,)
T
Q
u
xtx
n
∂
ψ
∂
=
∈Γ
∂
. (3.11)
В третьей краевой задаче вместо краевого условия (3.10) (первая
краевая задача) или условия (3.11) (вторая краевая задача) присутствует
условие
(), (,)
T
Q
u
uxtx
n
∂
σψ
∂
⎛⎞
+
=∈Γ
⎜⎟
∂
⎝⎠
. (3.12)
Уравнение теплопроводности
(простейший пример параболического
уравнения)
( , ), ( , ) , [0; ]
tTT
uuftx txQQ TQ−Δ = ∈ = × . (3.13)
Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид
0
(,), ( 0, );
|(), .
n
t
n
t
uufxtt x
uxx
ϕ
=
⎧
−Δ = > ∈
⎨
=∈
⎩
(3.14)
(3.15)
В первой краевой задаче (задаче Дирихле), второй краевой задаче (задаче
Неймана), третьей краевой задаче для уравнения теплопроводности при-
сутствуют само уравнение (3.13), начальное условие
0
|(),
t
uxxQ
ϕ
=
=
∈
, (3.16)
и одно из краевых условий:
– в первой начально-краевой задаче условие (3.10),
– во второй начально-краевой задаче условие (3.11),
– в третьей начально-краевой задаче условие (3.12).
Физическая постановка задач
Вывод уравнения Даламбера (волновое уравнение)
Уравнение Даламбера
()
22
2
22
(,) (,)
(,), 0, , 0
uxt uxt
afxtxlt
tx
∂∂
=+∈>
∂∂
(3.17)
описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольные
колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этого уравнения. 
                                      ∂u
                                             = ψ ( x), (t , x) ∈ ΓT .              (3.11)
                                      ∂n ∂ Q
     В третьей краевой задаче вместо краевого условия (3.10) (первая
краевая задача) или условия (3.11) (вторая краевая задача) присутствует
условие
                                 ⎛ ∂u    ⎞
                                 ⎜ + σ u ⎟ = ψ ( x),          (t , x) ∈ ΓT .       (3.12)
                                 ⎝ ∂n    ⎠ ∂Q
     Уравнение теплопроводности (простейший пример параболического
уравнения)
                 ut − Δu = f (t , x), (t , x) ∈ QT , QT = [0; T ] × Q . (3.13)
       Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид
                          ⎧ut − Δu = f ( x, t ), (t > 0, x ∈ n );  (3.14)
                          ⎨
                          ⎩       u |t =0 = ϕ ( x), x ∈ n .        (3.15)
В первой краевой задаче (задаче Дирихле), второй краевой задаче (задаче
Неймана), третьей краевой задаче для уравнения теплопроводности при-
сутствуют само уравнение (3.13), начальное условие
                                         u |t =0 = ϕ ( x), x ∈ Q , (3.16)
и одно из краевых условий:
     – в первой начально-краевой задаче условие (3.10),
     – во второй начально-краевой задаче условие (3.11),
     – в третьей начально-краевой задаче условие (3.12).
     Физическая постановка задач
     Вывод уравнения Даламбера (волновое уравнение)

       Уравнение Даламбера
                 ∂ 2u ( x, t )    2 ∂ u ( x, t )
                                     2
                               =a                + f ( x, t ), x ∈ ( 0, l ) , t > 0 (3.17)
                    ∂t 2               ∂x 2
описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольные
колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этого уравнения.




                                           15

Страницы