Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Далее, для гибкой струны сила натяжения T направлена в каждой
точке по касательной к струне. Примем, что T постоянная по величине.
Тогда
(
)
(
)
sin ; sin
лп
uu
FT FT
β
α
=− = .
Уравнение (3.19) принимает вид
2
2
sin sin ( , )
u
x
TT fxtx
t
μβα
∂
Δ≈− + + Δ
∂
. (3.20)
Поскольку мы рассматриваем «малые» колебания струны, при кото-
рых
,1
α
β
, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по
α
и
β
() ()
sin tg , ; sin tg ,
uu
x
txxt
xx
ββ αα
∂∂
≈= ≈= +Δ
∂∂
.
Подставляя эти выражения в (3.20), имеем с той же точностью
()
2
2
,(,)(,)
uu u
T x xt xt f xt x
tx x
μ
∂∂ ∂
⎛⎞
Δ≈ +Δ − + Δ
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
. (3.21)
Делим на
x
Δ , при 0
x
Δ
→ получаем (3.17), в котором
(,)
;(,)
Tfxt
afxt
μ
μ
==.
Замечание.
Так как
(
)
(
)
cos ; cos
лп
uu
FT FT
β
α
=− = , их сумма есть
(
)
(
)
22
cos cosTO
α
βαβ
−=+, следовательно, проекция на Ox равнодейст-
вующей сил, действующих на участок
[
]
;
x
xx
+
Δ , есть бесконечно малая
второго порядка. С точностью до этих бесконечно малых, малые колебания
струны являются поперечными.
Граничные условия для струны
а) Если левый конец струны закреплен, то
(0, ) 0ut
=
при 0t > . (3.22)
б) Предположим, что левый конец струны прикреплен к кольцу (не-
весомому), которое может свободно передвигаться по вертикальному
стержню. Тогда вертикальная составляющая силы действия стержня на ле-
вый конец струны при 0
x
= равна 0: 
      Далее, для гибкой струны сила натяжения T направлена в каждой
точке по касательной к струне. Примем, что T постоянная по величине.
Тогда
                         ( Fл )u = −T sin β ; ( Fп )u = T sin α .
      Уравнение (3.19) принимает вид
                    ∂ 2u
                         μΔx ≈ −T sin β + T sin α + f ( x, t )Δx . (3.20)
                    ∂t 2
      Поскольку мы рассматриваем «малые» колебания струны, при кото-
рых α , β     1, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по
α иβ
                        ∂u                          ∂u
                           ( x, t ) ; sin α ≈ tg α = ( x + Δx, t ) .
              sin β ≈ tg β =
                        ∂x                          ∂x
Подставляя эти выражения в (3.20), имеем с той же точностью
                ∂ 2u         ⎛ ∂u                   ∂u           ⎞
                     μΔx ≈ T ⎜    ( x + Δ x , t ) −    ( x , t ) ⎟ + f ( x , t ) Δx .           (3.21)
                ∂t 2
                             ⎝ ∂x                   ∂x           ⎠
Делим на Δx , при Δx → 0 получаем (3.17), в котором
                                     T                          f ( x, t )
                              a=             ;   f ( x, t ) =                .
                                     μ                             μ
      Замечание. Так как F л    ( )      u
                                             = −T cos β ; F п   ( )      u
                                                                             = T cos α , их сумма есть

T ( cos α − cos β ) = O (α 2 + β 2 ) , следовательно, проекция на Ox равнодейст-
вующей сил, действующих на участок [ x; x + Δx ] , есть бесконечно малая
второго порядка. С точностью до этих бесконечно малых, малые колебания
струны являются поперечными.

      Граничные условия для струны

      а) Если левый конец струны закреплен, то
                                   u (0, t ) = 0 при t > 0 .                                    (3.22)
     б) Предположим, что левый конец струны прикреплен к кольцу (не-
весомому), которое может свободно передвигаться по вертикальному
стержню. Тогда вертикальная составляющая силы действия стержня на ле-
вый конец струны при x = 0 равна 0:
                                                  17

Страницы