Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Сила
x
F имеет вид
(,)
x лп
FFF fxtx
=
++ Δ, (3.27)
где
(
)
лп
FF – сила, действующая вдоль Ox на участок
[
]
,
x
xx+Δ со сторо-
ны левого (правого) куска стержня, а
(,)
f
xt – плотность внешних сил, на-
правленных вдоль оси
Ox . Например, если стержень висит вертикально в
поле тяготения Земли, так что
Ox направлена вниз, то
(,)
f
xt g
= .
Подставляя
x
F в (3.26), получаем
2
2
(,)
(,)
лп
uxt
x
FF fxtx
t
μ
∂
Δ
≈++ Δ
∂
. (3.28)
Чтобы найти
л
F и
п
F , воспользуемся законом Гука: ( , ) ( , )
x
tExt
σ
ε
=⋅ .
Здесь (,)
x
t
σ
– напряжение стержня в точке
x
, т.е.
()
(,)
,
Fxt
xt
S
σ
= ,
где (,)
Fxt – сила напряжения стержня в точке ,
x
а S – площадь попереч-
ного сечения.
E
– модуль Юнга материала стержня,
(
)
,
x
t
ε
– относитель-
ная деформация стержня в точке
x
. Для участка стержня
[
]
,
x
xh+ его дли-
на в ненапряженном состоянии равна
h , а в напряженном
(,)(,)
ux ht uxt+− . Поэтому его абсолютное удлинение равно
(,)(,)
ux ht uxt+− , а относительное –
0
(,)(,)
(,)
h
ux ht uxt u
x
t
hx
→
+
−∂
⎯⎯⎯→
∂
.
Итак,
(,)
(,)
uxt
xt
x
ε
∂
=
∂
. (3.29)
Отсюда по закону Гука:
(,) (,) (,) (,)
u
F x t S x t SE x t SE x t
x
σε
∂
== =
∂
. (3.30)
Отметим, что закон Гука – это линейное приближение для зависимости
(,)
x
t
σ
от
(
)
,
x
t
ε
, и он применим лишь при малых деформациях, т.е. ма-
лых
(
)
,
x
t
ε
.
Учитывая направление сил
л
F и
п
F , получаем 
Сила Fx имеет вид
                                         Fx = Fл + Fп + f ( x, t )Δx ,                          (3.27)
где Fл ( Fп ) – сила, действующая вдоль Ox на участок [ x, x + Δx ] со сторо-
ны левого (правого) куска стержня, а f ( x, t ) – плотность внешних сил, на-
правленных вдоль оси Ox . Например, если стержень висит вертикально в
поле тяготения Земли, так что Ox направлена вниз, то f ( x, t ) = g μ .
        Подставляя Fx в (3.26), получаем
                         ∂ 2u ( x , t )
                                        μΔx ≈ Fл + Fп + f ( x, t )Δx .         (3.28)
                            ∂t 2
Чтобы найти Fл и Fп , воспользуемся законом Гука: σ ( x, t ) = E ⋅ ε ( x, t ) .
                                                                   F ( x, t )
        Здесь σ ( x, t ) – напряжение стержня в точке x , т.е. σ ( x, t ) =   ,
                                                                      S
где F ( x, t ) – сила напряжения стержня в точке x, а S – площадь попереч-
ного сечения. E – модуль Юнга материала стержня, ε ( x, t ) – относитель-
ная деформация стержня в точке x . Для участка стержня [ x, x + h ] его дли-
на в ненапряженном состоянии                           равна h , а в напряженном
u ( x + h, t ) − u ( x , t ) . Поэтому его             абсолютное удлинение равно
                                                  u ( x + h, t ) − u ( x , t )        ∂u
u ( x + h, t ) − u ( x, t ) , а относительное –                                ⎯⎯⎯
                                                                                h →0
                                                                                     → ( x, t ) .
                                                              h                       ∂x
        Итак,
                                                          ∂u ( x, t )
                                           ε ( x, t ) =               .                         (3.29)
                                                            ∂x
Отсюда по закону Гука:
                                              ∂u
                          F ( x, t ) = Sσ ( x, t ) = SEε ( x, t ) = SE
                                                 ( x, t ) .  (3.30)
                                              ∂x
Отметим, что закон Гука – это линейное приближение для зависимости
σ ( x, t ) от ε ( x, t ) , и он применим лишь при малых деформациях, т.е. ма-
лых ε ( x, t ) .
        Учитывая направление сил Fл и Fп , получаем




                                                  19

Страницы