Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
() ()
()
()
,,
,,
л
п
u
F F xt SE xt
x
u
FFx xt SE x xt
x
∂
⎧
=− =−
⎪
⎪
∂
⎨
∂
⎪
=+Δ=+ +Δ
⎪
∂
⎩
. (3.31)
Подставляя (3.31) в (3.26), получаем
()
2
2
(,) , (,) (,)
uu u
x
tx SE x xt SE xt fxtx
txx
μ
∂∂∂
Δ
≈+Δ− +Δ
∂∂∂
. (3.32)
Делим на
x
Δ и устремляем 0
x
Δ→ , получаем (3.17) с
(,)
,(,)
SE f x t
afxt
μ
μ
== (3.33)
еще обозначают
S
μ
ρ
= – объемная плотность стержня, тогда
E
a
= .
Граничные условия для стержня
а) Для закрепленного левого конца (0, ) 0, 0.ut t
=
>
б) Для свободного левого конца натяжение
()
0
0
(0, )
,0,0
x
x
uut
FxtSSE SE t
xx
σ
=
=
∂∂
==⋅==>
∂∂
,
то есть
(0, )
0, 0
ut
t
x
∂
=>
∂
.
в) Общий случай.
К левому концу 0
x
= прикреплен груз массы m , закрепленный на
пружине жесткости 0
k > ,
пружина находится в не-
напряженном состоянии,
когда смещение левого
конца равно нулю. Груз
движется с трением
,0,
тр
FV V
η
η
=− > –
скорость груза. Тогда, при 0
x
= выполняется краевое условие
2
2
(0,) (0,) (0,) ()
uuu
mkutSEt tft
txx
η
∂∂∂
=− + − +
∂∂∂
, (3.34)
где ()
f
t – внешняя сила, действующая на левый конец вдоль Ox .
низ
l
x
0
                       ⎧                                ∂u
                       ⎪⎪     Fл = − F ( x , t ) = − SE    ( x, t )
                                                        ∂x
                        ⎨                                           .                                  (3.31)
                                                       ∂u
                        ⎪ F = F ( x + Δx, t ) = + SE ( x + Δx, t )
                        ⎪⎩ п                           ∂x
        Подставляя (3.31) в (3.26), получаем
         ∂ 2u                     ∂u                     ∂u
              ( x , t ) Δx μ ≈ SE    ( x + Δx , t ) − SE    ( x , t ) + f ( x , t ) Δx .               (3.32)
         ∂t 2                     ∂x                     ∂x
Делим на Δx и устремляем Δx → 0 , получаем (3.17) с
                                                  SE                         f ( x, t )
                                        a=             ,      f ( x, t ) =                             (3.33)
                                                  μ                             μ
                             μ                                                                 E
еще обозначают ρ =               – объемная плотность стержня, тогда a =                           .
                             S                                                                 ρ

        Граничные условия для стержня

        а) Для закрепленного левого конца u (0, t ) = 0, t > 0.
        б) Для свободного левого конца натяжение
                                                  ∂u                 ∂u (0, t )
                   F = σ ( x, t ) S x =0 = SE ⋅               = SE              = 0, t > 0 ,
                                                  ∂x   x =0            ∂x
        ∂u (0, t )
то есть            = 0, t > 0 .
          ∂x
      в) Общий случай.
      К левому концу x = 0 прикреплен груз массы m , закрепленный на
пружине жесткости k > 0 ,
пружина находится в не-
напряженном состоянии,
                                                                низ
когда смещение левого
конца равно нулю. Груз                                  l     x

движется        с      трением            0
Fтр = −ηV , η > 0, V            –
скорость груза. Тогда, при x = 0 выполняется краевое условие
                   ∂ 2u                 ∂u          ∂u
                 m 2 = − ku (0, t ) + SE (0, t ) − η (0, t ) + f (t ) ,                                (3.34)
                   ∂t                   ∂x          ∂x
где f (t ) – внешняя сила, действующая на левый конец вдоль Ox .
                                                      20

Страницы