Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
[]
221
(, ,, ) (, ,,)
V
QuxyztuxyztdV
γ
ρ
=−
∫
или
2
1
2
t
tV
u
QdVdt
t
γρ
⎡
⎤
∂
=
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
∫∫
.
Предположим, что внутри тела имеются источники тепла. Обозна-
чим через
(
)
,,,Fxyzt – плотность тепловых источников (количество тепла,
поглощаемого или выделяемого в единице объема тела в единицу време-
ни). Тогда количество тепла, поглощаемого, либо выделяемого в объеме V
за время
[]
12
;tt будет равно
()
2
1
3
,,,
t
tV
Q F x y z t dV dt
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫
.
Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объе-
ма .V Очевидно,
213
QQQ=+, т.е.
()
222
111
,,,
ttt
tV tS tV
uu
dV dt k dSdt F x y z t dVdt
nn
γρ
⎡⎤
∂∂
=− +
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∫∫ ∫∫ ∫∫
.
Применяя формулу Остроградского ко 2-му интегралу, будем иметь
(минус появится, т.к. n – внутренняя, а не внешняя нормаль)
[]
()
2
1
div grad , , , 0
t
tV
u
kuFxyztdVdt
t
γρ
∂
⎡⎤
−− =
⎢⎥
∂
⎣⎦
∫∫
,
т.к. промежуток
[
]
12
;tt и объем V произвольны, то для любой точки
(, ,)
x
yz тела в любой момент t :
()()
div grad , , ,
u
kuFxuzt
t
γρ
∂
=+
∂
. (3.36)
Это уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела.
Если тело однородно, то ,,kconst
γ
ρ
=
и
222
2
222
(, ,,)
uuuu
afxyzt
txyz
⎛⎞
∂∂∂∂
=+++
⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠
,
где
()
(, ,,)
(, ,,) ;
Fxyzt k
fxyzt a
ργρ
==
.
Если в однородном теле нет источников тепла
, то
222
2
222
uuuu
a
txyz
⎛⎞
∂∂∂∂
=++
⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠
– однородное уравнение теплопроводности
. 
                                                                            ⎡    t2
                                                                                 ∂u  ⎤
         Q2 = ∫ [u ( x, y, z , t2 ) − u ( x, y, z , t1 ) ]γρ dV или Q2 = ∫ ⎢ ∫ γρ dV ⎥ dt .
              V                                                          t1 ⎣ V
                                                                                 ∂t  ⎦
        Предположим, что внутри тела имеются источники тепла. Обозна-
чим через F ( x, y, z , t ) – плотность тепловых источников (количество тепла,
поглощаемого или выделяемого в единице объема тела в единицу време-
ни). Тогда количество тепла, поглощаемого, либо выделяемого в объеме V
за время [t1 ; t2 ] будет равно
                                                ⎡
                                                t2
                                                                        ⎤
                                        Q3 = ∫ ⎢ ∫ F ( x, y, z , t ) dV ⎥ dt .
                                             t1 ⎣V                      ⎦
       Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объе-
ма V . Очевидно, Q2 = Q1 + Q3 , т.е.
               t2
                   ⎡      ∂u    ⎤        t2
                                               ∂u
                                                       t2

               ∫t ⎢⎣V∫ γρ ∂n dV ⎥⎦ dt = −∫∫   k dSdt + ∫∫ F ( x, y , z , t ) dVdt .
                 1                       t1 S
                                               ∂n      t1 V

     Применяя формулу Остроградского ко 2-му интегралу, будем иметь
(минус появится, т.к. n – внутренняя, а не внешняя нормаль)
                     t2
                             ⎡     ∂u                                        ⎤
                      ∫∫ ⎣⎢γρ ∂t − div [ k grad u ] − F ( x, y, z, t )⎥⎦ dVdt = 0 ,
                      t1 V

т.к. промежуток [t1 ; t2 ] и объем V произвольны, то для любой точки
( x, y, z ) тела в любой момент t :
                           ∂u
                              = div ( k grad u ) + F ( x, u , z , t ) .
                                           γρ                           (3.36)
                           ∂t
Это уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела.
     Если тело однородно, то γ , ρ ,k = const и
                                 ∂u    2⎛∂ u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
                                           2
                                    = a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + f ( x, y , z , t ) ,
                                 ∂t     ⎝ ∂x ∂y   ∂z ⎠
                          F ( x, y , z , t )            k
где f ( x, y, z , t ) =                        ; a=           .
                                  γρ                  (γρ )
        Если        в            однородном           теле        нет     источников   тепла,   то
∂u      ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
   = a2 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟                          – однородное уравнение теплопроводности.
∂t      ⎝ ∂x   ∂y   ∂z ⎠

                                                         22

Страницы