Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 24 стр.

                       ∂u
                  γρ        = div ( k grad u ) + F ( x, y , z , t ) , ( x, y, z ) ∈V
                        ∂t
                  u t = 0 = ϕ ( x, y , z ) , ( x , y , z ) ∈ V .
и одному из условий (3.37), (3.38), (3.39).
         Стационарное                уравнение.     Для      стационарных              уравнений
F ( x, t ) = f ( x), u ( x, t ) = u ( x) и уравнение (3.36) принимает вид
                                         div(k grad u ( x)) + f ( x) = 0 .                  (3.40)
Если k = const , уравнение (3.40) называется уравнением Пуассона
                                               −Δu = f ,                                    (3.41)
при f = 0 уравнение (3.41) называется уравнением Лапласа. Для полного
описания стационарного процесса необходимо задать еще режим на гра-
нице – одно из условий
                                          u S = ψ 1 ( x) , x ∈ S ;                          (3.42)
                                         ∂u
                                              = ψ 2 ( x) , x ∈ S ;                          (3.43)
                                         ∂n S
                                     ∂u
                                        + h ( u − u0 ) S = 0, x ∈ S .                       (3.44)
                                     ∂n

       О корректной постановке задач математической физики

      Как было сказано выше, для нестационарных (зависящих от време-
ни) уравнений нужно задавать начальные условия для определения реше-
ния. Если при этом рассматривается по x все                        n
                                                                       , n = 1,2,3 , то такую зада-
чу называют задачей Коши. При рассмотрении задачи во всем пространст-
ве (задачи Коши) или в неограниченной области (например, на внешности
компакта) необходимо учитывать еще поведение решения «на бесконечно-
сти» (в далеких точках изучаемой области), и только при некоторых пред-
положениях об этом поведении решение может быть найдено однозначно.
      Таким образом, задача математической физики ставится как задача
решения уравнения в частных производных при некоторых дополнитель-
ных условиях, называемых начальными и краевыми, которые фиксируются
часто самой физической постановкой задачи.
      При постановке задач математической физики нужно учитывать еще
один важный факт. Он состоит в следующем. Все известные функции,
                                                 24