Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 25 стр.

входящие в уравнение, а также в начальные и граничные условия, опреде-
ляются из опыта и поэтому не могут быть найдены совершенно точно.
Всегда неизбежна некоторая погрешность в начальных и граничных усло-
виях. Эта, пусть и малая, погрешность будет сказываться и на решении,
причем погрешность решения не всегда оказывается малой. Существует
много примеров, когда малая погрешность в исходных данных влечет
большую ошибку в решении. Поэтому, исследуя уравнения математиче-
ской физики, мы всегда должны рассматривать вопрос о зависимости ре-
шения от исходных данных задачи.
      Задача математической физики считается поставленной корректно,
если решение задачи, удовлетворяющее требуемым условиям, существует,
единственно и устойчиво. Последнее свойство означает, что малые изме-
нения заданных в задаче функций должны приводить к малым изменениям
решения.
      Требование существования и единственности означает, что среди
краевых и начальных условий нет лишних, т.е. задача «совместна», и их
достаточно, чтобы выделить среди бесконечного множества решений
дифференциального уравнения единственное. При этом задачу решают
всегда в определенном функциональном пространстве (пространстве не-
прерывных функций, обобщенных функций и т.д.) и важно, чтобы в неко-
тором функциональном пространстве имела место теорема существования
решения, в том же или более широком пространстве имела место теорема
единственности решения, а решение в норме того или иного пространства
непрерывно зависело от заданных в задаче функций.
      Пример Адамара. Найдем решение уравнения Лапласа
                             ∂ 2u ∂ 2u
                                 +     =0
                             ∂x12 ∂x22
                              ⎧              π      π⎫
в области Ω – полуполосе: Ω = ⎨ x : x2 > 0, − < x1 < ⎬ с граничными ус-
                              ⎩              2      2⎭
ловиями
                           u x =−π = u x =π = 0
                             1            1
                                 2            2

и начальными условиями



                                     25