Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
В частном случае, когда (, ,)uuxyz= , что, например, имеет место в тонкой
однородной пластине,
22
2
22
uuu
a
txy
⎛⎞
∂∂∂
=+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
.
Наконец, для линейного тела (однородный стержень) –
2
2
2
uu
a
tx
∂∂
=
∂∂
.
Чтобы найти температуру внутри тела, недостаточно одного уравнения
теплопроводности. Необходимо еще знать распределение температуры внут-
ри тела в начальный момент времени и тепловой режим на границе S тела
(краевое условие). Условие на границе задается различными способами.
1) В каждой точке поверхности S задается температура
1
(,),
S
uxtxS
ψ
=
∈ . (3.37)
2) На поверхности S задается тепловой поток
u
qk
n
∂
=−
∂
, откуда
2
(,),
S
u
x
txS
n
ψ
∂
=
∈
∂
. (3.38)
3) На границе тела происходит обмен с окружающей средой, темпе-
ратура которой известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упро-
щения он может быть принят в виде закона Ньютона
.
По закону Ньютона: количество тепла, передаваемое в единицу вре-
мени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду пропор-
ционально разности температур поверхности тела и окружающей среду
(
)
0
qHuu=−, где
H
– коэффициент теплообмена. Будем считать, что
H
const= . По закону сохранения энергии это количество тепла должно
быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу по-
верхности тела за единицу времени
()
0
,
u
H
uu k xS
n
∂
=− ∈
∂
, (здесь n –
внешняя нормаль к S ). Заменим
H
h
k
=
:
()
0
0
S
u
hu u
n
∂
+
−=
∂
. (3.39)
Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твер-
дом поле ставится так.
Найти решение уравнения, удовлетворяющее уравнению 
В частном случае, когда u = u ( x, y, z ) , что, например, имеет место в тонкой
                     ∂u    2⎛∂ u ∂ 2u ⎞
                               2
однородной пластине,    = a ⎜ 2 + 2 ⎟.
                     ∂t     ⎝ ∂x ∂y ⎠
                                                             ∂u     ∂ 2u
      Наконец, для линейного тела (однородный стержень) –       = a2 2 .
                                                             ∂t     ∂x
      Чтобы найти температуру внутри тела, недостаточно одного уравнения
теплопроводности. Необходимо еще знать распределение температуры внут-
ри тела в начальный момент времени и тепловой режим на границе S тела
(краевое условие). Условие на границе задается различными способами.
      1) В каждой точке поверхности S задается температура
                                  u S = ψ 1 ( x, t ) , x ∈ S .             (3.37)
                                                                 ∂u
      2) На поверхности S задается тепловой поток q = − k           , откуда
                                                                 ∂n
                                  ∂u
                                       = ψ 2 ( x, t ), x ∈ S .             (3.38)
                                  ∂n S
     3) На границе тела происходит обмен с окружающей средой, темпе-
ратура которой известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упро-
щения он может быть принят в виде закона Ньютона.
     По закону Ньютона: количество тепла, передаваемое в единицу вре-
мени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду пропор-
ционально разности температур поверхности тела и окружающей среду
q = H ( u − u0 ) , где H – коэффициент теплообмена. Будем считать, что
H = const . По закону сохранения энергии это количество тепла должно
быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу по-
                                                       ∂u
верхности тела за единицу времени H ( u − u0 ) = − k      , x ∈ S , (здесь n –
                                                       ∂n
                                   H
внешняя нормаль к S ). Заменим h = :
                                    k
                                ∂u
                                   + h ( u − u0 ) S = 0 .                (3.39)
                                ∂n
     Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твер-
дом поле ставится так.
     Найти решение уравнения, удовлетворяющее уравнению

                                      23

Страницы