Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
Вывод уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле
Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (, ,)
x
yz в
момент 0
t > есть (, ,,)uxyzt. Если различные части тела находятся при
различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от
более нагретых к менее нагретым частям. Возьмем некую поверхность
S
внутри тела и на ней малый элемент
S
Δ
. В теории теплопроводности при-
нимается, что количество тепла
Q
Δ
, проходящее через элемент SΔ за вре-
мя
tΔ , пропорционально
u
tS
n
∂
Δ⋅Δ ⋅
∂
, т.е.
u
Qk St
n
∂
Δ
=− Δ Δ
∂
, (3.35)
здесь
n – направление нормали к элементу S
Δ
в направлении движения
тепла, 0
k > – коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать
тело изотропным в отношении теплопроводности, то есть, что
k зависит
лишь от (, ,)
x
yz и не зависит от
u
n
∂
. Обозначим через q тепловой поток,
т.е. количество тепла, проходящее через единицу площади поверхности в
единицу времени. Тогда из (3.35):
u
qk
n
∂
=−
∂
.
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела
произвольный объем ,
V ограниченный гладкой замкнутой поверхностью
S и рассмотрим изменения количества тепла в этом объеме за время
[
]
`1 2
;tt. Нетрудно видеть, что через поверхность за это время согласно
(3.35) проходит количество тепла, равное
2
1
1
(, ,)
t
tS
u
QkxyzdSdt
n
⎡
⎤
∂
=−
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
∫∫
, где
n – внутренняя нормаль к S .
Рассмотрим элемент объема V
Δ
. На изменение температуры этого
объема на uΔ за время tΔ нужно затратить количество тепла, равное
(
)
2
, ,, (, ,,) (, ,) (, ,)Q u xyzt t uxyzt xyz xyz V
γρ
Δ= +Δ− Δ
⎡⎤
⎣⎦
,
где (, ,)
x
yz
ρ
– плотность, ( , , )
x
yz
γ
– теплоемкость вещества. Следова-
тельно, количество тепла, необходимое для изменения температуры V на
21
(, ,, ) (, ,, )uuxyzt uxyztΔ= − равно 
           Вывод уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле

           Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке ( x, y, z ) в
момент t > 0 есть u ( x, y, z, t ) . Если различные части тела находятся при
различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от
более нагретых к менее нагретым частям. Возьмем некую поверхность S
внутри тела и на ней малый элемент ΔS . В теории теплопроводности при-
нимается, что количество тепла ΔQ , проходящее через элемент ΔS за вре-
                                           ∂u
мя Δt , пропорционально Δt ⋅ ΔS ⋅             , т.е.
                                           ∂n
                                            ∂u
                                           ΔQ = −k
                                               ΔS Δ t ,              (3.35)
                                            ∂n
здесь n – направление нормали к элементу ΔS в направлении движения
тепла, k > 0 – коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать
тело изотропным в отношении теплопроводности, то есть, что k зависит
                                    ∂u
лишь от ( x, y, z ) и не зависит от    . Обозначим через q тепловой поток,
                                    ∂n
т.е. количество тепла, проходящее через единицу площади поверхности в
                                           ∂u
единицу времени. Тогда из (3.35): q = − k .
                                           ∂n
       Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела
произвольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью
S и рассмотрим изменения количества тепла в этом объеме за время
[t`1 ; t2 ] .   Нетрудно видеть, что через поверхность за это время согласно
                                                   ⎡             t2
                                                                   ∂u ⎤
(3.35) проходит количество тепла, равное Q1 = − ∫ ⎢ ∫ k ( x, y, z ) dS ⎥ dt , где
                                                t1 ⎣ S
                                                                   ∂n ⎦
n – внутренняя нормаль к S .
      Рассмотрим элемент объема ΔV . На изменение температуры этого
объема на Δu за время Δt нужно затратить количество тепла, равное
            ΔQ2 = ⎡⎣u ( x, y, z , t + Δt ) − u ( x, y , z , t ) ⎤⎦ γ ( x, y, z ) ρ ( x, y , z )ΔV ,
где ρ ( x, y, z ) – плотность, γ ( x, y, z ) – теплоемкость вещества. Следова-
тельно, количество тепла, необходимое для изменения температуры V на
Δu = u ( x, y, z , t2 ) − u ( x, y, z , t1 ) равно

                                                21

Страницы