Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
2
2
1
0
2
0
cos ; 0
n
x
x
u
ue nx
x
−
=
=
∂
==
∂
,
где n – нечетное число.
Можно проверить, что функция
(
)
(
)
(
)
12 1 2
,cosch
n
uxx e nx nx
−
= (3.45)
удовлетворяет уравнению Лапласа и начальным, и граничным условиям.
Можно показать также, что в некотором классе функций решение постав-
ленной задачи единственно. Легко видеть, что, когда n →+∞, начальная
функция
(
)
1
cos
n
enx
−
стремится к нулю равномерно по
x
вместе со всеми
производными по
1
x
. Однако решение (3.45) при любом
2
0x ≠ имеет вид
косинусоиды со сколь угодно большой амплитудой. Ясно, что в этом слу-
чае ни в какой области
Ω, лежащей в полуполосе и примыкающей к оси
2
0x =
, нет непрерывной зависимости решения от начальной функции.
Таким образом, рассмотренная задача для уравнения Лапласа по-
ставлена некорректно. Непрерывная зависимость от начальных данных в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений носит название «ус-
тойчивости по Ляпунову». В теории уравнений в частных производных
вопрос корректности постановки задачи значительно более сложен.
Надо иметь в виду,
однако, что существуют реальные физические и
другие математические модели, в которых нет непрерывной зависимости
решения от изменения задаваемых в задаче функций. Например, такие за-
дачи возникают в геофизике. Для решения этих задач используется так на-
зываемый метод регуляризации. Мы эту тему не затрагиваем, эти вопросы
обычно излагаются в специальных курсах и специальной литературе.
Задача Коши. Теорема Ковалевской
Определение системы типа Ковалевской. Примеры. Постановка за-
дачи Коши для общей нелинейной системы уравнений в частных произ-
водных типа Ковалевской
Рассмотрим систему уравнений в частных производных с неизвест-
ными функциями
12
,,...,
N
uu u: 
                                                  ∂u
                     u x =0 = e − n cos nx1 ;                    = 0,
                        2
                                                  ∂x2   x2 = 0

где n – нечетное число.
      Можно проверить, что функция
                            u ( x1 , x2 ) = e − n cos ( nx1 ) ch ( nx2 )   (3.45)
удовлетворяет уравнению Лапласа и начальным, и граничным условиям.
Можно показать также, что в некотором классе функций решение постав-
ленной задачи единственно. Легко видеть, что, когда n → +∞ , начальная
функция e − n cos ( nx1 ) стремится к нулю равномерно по x вместе со всеми
производными по x1 . Однако решение (3.45) при любом x2 ≠ 0 имеет вид
косинусоиды со сколь угодно большой амплитудой. Ясно, что в этом слу-
чае ни в какой области Ω , лежащей в полуполосе и примыкающей к оси
x2 = 0 , нет непрерывной зависимости решения от начальной функции.
      Таким образом, рассмотренная задача для уравнения Лапласа по-
ставлена некорректно. Непрерывная зависимость от начальных данных в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений носит название «ус-
тойчивости по Ляпунову». В теории уравнений в частных производных
вопрос корректности постановки задачи значительно более сложен.
      Надо иметь в виду, однако, что существуют реальные физические и
другие математические модели, в которых нет непрерывной зависимости
решения от изменения задаваемых в задаче функций. Например, такие за-
дачи возникают в геофизике. Для решения этих задач используется так на-
зываемый метод регуляризации. Мы эту тему не затрагиваем, эти вопросы
обычно излагаются в специальных курсах и специальной литературе.

     Задача Коши. Теорема Ковалевской
     Определение системы типа Ковалевской. Примеры. Постановка за-
дачи Коши для общей нелинейной системы уравнений в частных произ-
водных типа Ковалевской
     Рассмотрим систему уравнений в частных производных с неизвест-
ными функциями u1 , u2 ,..., u N :



                                         26

Страницы