Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Определение аналитичности функции многих действительных пере-
менных. Комплекснозначная функция ()Fx, определенная в некоторой об-
ласти
m
Ω∈ , называется аналитической в окрестности точки
(
)
00
1
,...,
m
Px x=
, если она разлагается в степенной ряд
()()( )
12
1
1
00 0
0...1122
||1 0 0
( ) ( ) ... ...
m
m
m
mm
Fx A x x A x x x x x x
α
αα
α
ααα
ααα
∞∞∞
===
=−= − − −
∑∑∑
,
абсолютно сходящийся при достаточно малых
0
x
x
−
.
Известно, что в этом случае функция ()
Fx имеет в точке
0
x
произ-
водные всех порядков.
Введем сокращенное обозначение для производных от начальных
данных ()
k
i
x
ϕ
по
x
:
/
1
1
()
()
...
n
k
k
i
i
n
x
Dx
x
α
α
α
α
ϕ
ϕ
′
∂
=
∂
∂
,
где
/
12
... , 0, 1,...,
ni
iN
ααα αα
=+++ ≥ = .
Теорема Ковалевской
(о единственности и локальной разрешимости
задачи Коши для системы Ковалевской).
Если все функции ()
k
i
x
ϕ
аналитичны в окрестности точки
(
)
000
1
,...,
n
x
xx= , а функции
i
F определены и аналитичны в окрестности точки
(
)
(
)
()
/
00 0 0
10
, , ..., , , ..., ...
kk
ni
i
tx x x D x
α
ϕϕ
′
, то задача Коши (3.46), (3.47) имеет
аналитическое решение в некоторой окрестности точки
(
)
(
)
00 00 0
1
,,,...,
n
tx tx x= ,
притом единственное в классе аналитических функций.
Доказательство
теоремы Ковалевской мы проведем для линейных
систем первого порядка. Можно доказать, что задачу Коши для общих ли-
нейных систем можно свести к задаче Коши для линейных систем первого
порядка (а нелинейную систему (3.46) – свести к нелинейной системе пер-
вого порядка)
3
.
Итак, рассмотрим задачу Коши для следующей линейной системы
первого порядка, разрешенной относительно производных по
t от всех не-
известных функций 
     Определение аналитичности функции многих действительных пере-
менных. Комплекснозначная функция F ( x) , определенная в некоторой об-
ласти         Ω∈          m
                               ,    называется                    аналитической         в       окрестности     точки
P = ( x10 ,..., xm0 ) , если она разлагается в степенной ряд
                 ∞                             ∞            ∞
      F ( x) = ∑ Aα ( x − x0 )α = ∑ ... ∑ Aα1 ...α m ( x1 − x10 )                      (x   − x20 ) ...( xm − xm0 ) ,
                                                                                  α1              α2             αm
                                                                                        2
               |α | =1                        α1 =0       α m =0

абсолютно сходящийся при достаточно малых x − x 0 .

            Известно, что в этом случае функция F ( x) имеет в точке x 0 произ-
водные всех порядков.
     Введем сокращенное обозначение для производных от начальных
данных ϕik ( x) по x :
                                                                            /
                                                            ∂α ϕik ( x)
                                                      α′
                                                 D ϕ ( x) = α1k
                                                                         ,
                                                           ∂x1 ...∂xnα n
                                                             i



где α / = α1 + α 2 + ... + α n , α i ≥ 0, i = 1,..., N .
     Теорема Ковалевской (о единственности и локальной разрешимости
задачи Коши для системы Ковалевской).
            Если         все       функции                ϕik ( x)    аналитичны            в   окрестности      точки
x 0 = ( x10 ,..., xn0 ) , а функции Fi определены и аналитичны в окрестности точки

(t , x , ..., x , ϕ
  0     0
        1
                   0
                   n      i
                           k
                               ( x0 ) , ..., Dα ′ϕik ( x0 ) ...) ,
                                                      /                   то задача Коши (3.46), (3.47) имеет

аналитическое решение в некоторой окрестности точки ( t 0 , x 0 ) = ( t 0 , x10 ,..., xn0 ) ,
притом единственное в классе аналитических функций.
      Доказательство теоремы Ковалевской мы проведем для линейных
систем первого порядка. Можно доказать, что задачу Коши для общих ли-
нейных систем можно свести к задаче Коши для линейных систем первого
порядка (а нелинейную систему (3.46) – свести к нелинейной системе пер-
вого порядка) 3.
      Итак, рассмотрим задачу Коши для следующей линейной системы
первого порядка, разрешенной относительно производных по t от всех не-
известных функций


                                                                     28

Страницы