Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
() () ()
11 1
,,,
Nn N
j
k
i
ij ij j i
jk j
k
u
u
a tx b txu f tx
tx
== =
∂
∂
=++
∂∂
∑∑ ∑
(3.48.1)
с аналитическими коэффициентами
(
)
(
)
,, ,
k
ij ij
atxbtx и
()
,
i
f
tx при произ-
вольных аналитических начальных данных:
()
0
,()
ii
tt
utx x
ϕ
=
= , где 1,iN= . (3.48.2)
Систему (3.48) коротко можно записать в операторном виде
u
A
uf
t
∂
=
+
∂

,
где u
– вектор с компонентами
1
,...,
N
uu, а
A
– такой дифференциальный
оператор, что
u
есть вектор со следующими N компонентами
() ()
11 1
,,,
Nn N
j
k
ij ij j
jk j
k
u
atx btxu
x
== =
∂
+
∂
∑∑ ∑
где 1,iN= .
Неоднородные начальные условия (*) можно свести к однородным
начальным условиям вида
(
)
0
,0,1,
i
tt
utx i N
=
== (3.49)
с помощью замены неизвестных функций. Вместо прежних неизвестных
функций
i
u введем новые неизвестные функции
iii
u
ν
ϕ
=
−
или в векторной форме
v u
ϕ
=
−

.
Тогда функции
i
ν
будут удовлетворять системе
A
Af
t
ν
νϕ
∂
=
++
∂

с начальными условиями
(
)
0
,0
tt
tx
ν
=
=
.
Доказав существование решения для последней задачи Коши, мы до-
кажем тем самым и разрешимость исходной задачи. Будем считать, что та-
кое преобразование сделано, т.е. будем рассматривать задачу (3.48), (3.49).
а) Доказательство единственности аналитического решения.
                 ∂ui    N    n          ∂u j N
                     = ∑∑ aij ( t , x )
                                 k
                                            + ∑ bij ( t , x ) u j + fi ( t , x )   (3.48.1)
                 ∂t    j =1 k =1        ∂xk j =1
с аналитическими коэффициентами aijk ( t , x ) , bij ( t , x ) и f i ( t , x ) при произ-
вольных аналитических начальных данных:
                                 ui ( t , x ) t =t 0 = ϕi ( x) , где i = 1, N .    (3.48.2)
       Систему (3.48) коротко можно записать в операторном виде
                                         ∂u
                                            = Au + f ,
                                         ∂t
где u – вектор с компонентами u1 ,..., u N , а A – такой дифференциальный
оператор, что Au есть вектор со следующими N компонентами
                 N n                   ∂u j N
               ∑∑
                j =1 k =1
                          aij (
                            k
                                t , x ) + ∑ bij ( t , x ) u j , где i = 1, N .
                                       ∂xk j =1
     Неоднородные начальные условия (*) можно свести к однородным
начальным условиям вида
                                        ui ( t , x ) t =t 0 = 0, i = 1, N           (3.49)
с помощью замены неизвестных функций. Вместо прежних неизвестных
функций ui введем новые неизвестные функции
                                          ν i = ui − ϕi
или в векторной форме
                                           v = u −ϕ .
Тогда функции ν i будут удовлетворять системе
                                     ∂ν
                                        = Aν + Aϕ + f
                                     ∂t
с начальными условиями
                                       ν (t, x )            =0.
                                                   t =t 0

      Доказав существование решения для последней задачи Коши, мы до-
кажем тем самым и разрешимость исходной задачи. Будем считать, что та-
кое преобразование сделано, т.е. будем рассматривать задачу (3.48), (3.49).
      а) Доказательство единственности аналитического решения.



                                                29

Страницы