Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 31 стр.

ши существует, то подставим в систему (3.48) это решение. Получим тож-
дества. Продифференцируем все полученные тождества α1 раз по x1 , α 2
по x2 и т.д. Тогда в левых частях получатся производные вида
                                       (1,α )  /

                                     ∂       ui
                                                    ,                             (3.52)
                                  ∂t∂x1α1 ...∂xnα n
а в правых частях – только производные по xk            ( k = 1,..., n )   от ui и коэф-
фициентов, т.е. вполне определенные величины в точке P ( 0;0 ) (так как
производные по xk от ui в P ( 0;0 ) мы определили); таким образом, произ-
водная (3.52) в точке P ( 0;0 ) определяется однозначно. Продифференци-
ровав систему (3.48) один раз по t , α1 раз по x1 , α 2 раз по x2 и т.д., мы оп-
ределим однозначно в точке P ( 0;0 ) производные вида
                                      ( 2,α )
                                           /

                                     ∂    ui
                                                  ,
                                 ∂t ∂x1 ...∂xnα n
                                   2   α1


так как производная (3.52) уже определена однозначно. Продолжая этот
процесс дальше, мы однозначно определим коэффициенты (3.50), которы-
ми в свою очередь определяется разложение (3.51) нашего решения в сте-
пенной ряд, причем однозначным образом (можно воспользоваться мето-
дом индукции). Таким образом, два аналитических решения задачи (3.48),
(3.49) с одними и теми же начальными условиями совпадают в некоторой
окрестности начала координат. Этим доказана единственность решения за-
дачи Коши в классе аналитических функций.
      Для доказательства существования решения задачи Коши (3.48),
(3.49) нам достаточно доказать, что степенные ряды (3.51), определенные
коэффициентами (3.50), сходятся в некоторой окрестности начала коорди-
нат.
      Эти ряды будут удовлетворять нулевым начальным условиям (3.94)
и системе (3.48), так как при построении этих рядов (при вычислении ко-
эффициентов) мы пользовались тем, что левые части системы (3.48) равня-
лись ее правым частям в некоторой окрестности начала координат.
      Для доказательства сходимости степенных рядов используют метод
мажорантных рядов.
      б) Мажоранты аналитических функций и их построение
                                        31