Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 33 стр.

где t < b0 , xk < bk , k = 1,..., n , а постоянная M взята из формулы (3.54).
                                                                 1
Разложим каждый множитель вида                                           −1
                                                                               в степенной ряд по формуле
                                                          1 − xk bk
суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
                                                                         ∞
                              (1 − x ) = 1 + x + x 2 + ... = ∑ x k , x < 1 ,
                                         −1

                                                                        k =0

т.е. запишем ψ ( t , x ) в виде
                               α0                 α1              αn
                ⎡ ∞ ⎛ t        ⎞     ∞    ⎛ x1   ⎞      ∞ ⎛
                                                            xn    ⎞    ⎤    ∞
                                                                                    tα0 x1α1 ...xnαn
ψ ( t , x ) = M ⎢ ∑ ⎜⎜        ⎟⎟    ∑ ⎜⎜         ⎟⎟ ∑ ⎜⎜
                                                    ...          ⎟⎟
                                                                       ⎥=M∑
                                                                                    α0     α1        αn
                                                                                                        .   (3.57)
                ⎢α0 =0 ⎝ b0   ⎠     α1 =0 ⎝ b1    ⎠ αn =0 ⎝ bn   ⎠     ⎥  |α |=0 b     b1 ... bn
                ⎣                                                      ⎦          0

Очевидно, ψ ( t , x ) является мажорантой для функции ϕ ( t , x ) в силу (3.55) и
(3.57).
         Мажоранты можно строить разными способами. Так как для ϕ ( t , x ) ,
заданной рядом (3.53), мажорантой будет также функция
                                              M
                        ψ 1 (t, x ) =                      ,
                                         t + x1 + ... + xn
                                      1−
                                                d
где d = min { b0 , b1 , ..., bn } , bk ≠ 0, k = 0, n , а ( b0 ,..., bn ) , как и прежде,
некоторая точка сходимости ряда (3.53) для ϕ ( t , x ) .
         В самом деле, при t + x1 + ... + xn < d эта функция разлагается в схо-
дящийся ряд
                                                                                   α
                           M                 ∞
                                                 ⎛ t + x1 + ... + xn ⎞     ∞
                                                                                1
     ψ 1 (t, x ) =                      = M ∑⎜                       ⎟ = M∑ α ,                             (3.58)
                      t + x1 + ... + xn     α =0 ⎝        d          ⎠    α =0 d
                   1−
                             d
             α!           (α + α1 + ...α n )!                          1          1
но                       ≡ 0                  ≥ 1;                       ≥                  , поэтому коэф-
       α 0 !α1 !...α n !    α 0 !α1 !...α n !                         d α b0 α 0 ... bn α n
фициенты ряда для ψ 1 ( t , x ) положительны и мажорируют коэффициенты
ряда (3.58), а по доказанному ряд (3.58) мажорирует ряд (3.57), значит и
ψ 1 ( t , x ) мажорирует ряд (3.53), т.е. функцию ϕ ( t , x ) . Точно так же для
ϕ ( t , x ) мажорантной будет функция


                                                          33