Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 35 стр.

      Начальные условия возьмем в виде
                                        U i ( t , x ) t =0 = U i0 ( x) ,                       (3.60)

где U i0 ( x) – есть мажоранты нуля (для u t =0 = 0 ), т.е. такие функции, кото-
рые разлагаются в ряды Тейлора с неотрицательными коэффициентами.
Система (3.59) более простая, чем (3.48), и ее решение мы построим в яв-
ном виде. Как сказано выше, будем искать решение задачи (3.48), (3.49) в
виде степенного ряда, определяя коэффициенты этого ряда из системы
(3.48) указанным при доказательстве единственности аналитического ре-
шения способом. Этот ряд имеет вид (3.51).
      Допустим, что решение задачи (3.59), (3.60) представляется сходя-
щимся рядом с неотрицательными коэффициентами Cαi
                                            ∞
                             Ui (t, x ) =   ∑
                                            α
                                              Cα α
                                             =0
                                                   i
                                                       0 1 ...α n
                                                                    t α0 x1α1 ...xnα n .       (3.61)

(ниже мы построим это решение).
     Докажем, что тогда будут иметь место неравенства между коэффи-
циентами рядов (3.51) и (3.61):

                                      aαi 0α1...αn ≤ Cαi 0α1...αn .                            (3.62)
      Так как ряд (3.61) по предположению сходится, то неравенства (3.62)
доказывают сходимость ряда (3.51) в окрестности точки ( 0,0 ) . Итак, до-
кажем (3.62). По условию все коэффициенты Cαi 0α1 ...α n ≥ 0 . Для коэффициен-
тов, которые определяются производными по xi , i = 1,..., n при t = x = 0 не-
равенства (3.62) выполняются, так как по условию U i t =0 = U i0 ( x) , а U i0 ( x)
является мажорантой нуля.
      Для тех коэффициентов, которые определяются производными, где
есть дифференцирование по t , т.е. для α 0 ≠ 0 , соотношение (3.62) докажем
по индукции по α 0 .
      Допустим, что для любого α с α 0 ≤ k неравенства (3.62) доказаны.
                                                                               /
Докажем (3.62) при α 0 = k + 1 . Обозначим через Dα ui производную, соот-
ветствующую          мультииндексу                α / = ( 0,α1 ,...,α n ) ,                и   пусть



                                            35