Уравнения с частными производными. Часть 1. Глушко А.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
1
1
0
1
,...
n
n
n
DD
txx
α
α
α
α
α
′
∂∂∂
==
∂∂∂
×× . Тогда, дифференцируя систему (3.48), полу-
чаем
() () () ()
//
00 0
11 1
,,,,.
Nn N
j
kkk
iijijji
jk j
k
u
D DDu tx D D a tx b txu f tx
x
αα
== =
∂
⎛⎞
=++
⎜⎟
∂
⎝⎠
∑∑ ∑
(3.63)
Возьмем соответствующую производную и для мажорирующей системы
() ()
//
00 0
11 1
,, .
Nn N
j
kk
ij
jk j
k
U
DDDUtx DD Atx U m
x
αα
== =
⎡
⎤
∂
⎡
⎤
=++
⎢
⎥
⎢
⎥
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
∑∑ ∑
(3.64)
В правых частях (3.63) и (3.64) содержатся производные от
(
)
(
)
,, ,
ii
utx Utx
только вида D
α
с
0
k
α
≤ , а для коэффициентов, определяемых ими, оценка
(3.62) выполнена по предположению индукции.
Так как правая часть равенства (3.64) содержит только неотрица-
тельные члены, превосходящие модули соответствующих членов в (3.63)
при 0,
x
= 0t = , а левые части (3.63) и (3.64) выражаются через правые, то
мы имеем
//
11
00
00
00
kk
tt
ii
x
DD u DD U
αα
++
=
=
=
=
≤ .
Таким образом, неравенства (3.62) доказаны.
Теперь докажем, что аналитические функции
(
)
,
i
Utx, являющиеся
решением задачи (3.59), (3.60), существуют в некоторой окрестности точки
0, 0
tx==.
Будем искать решение системы (3.59) в виде функции одного незави-
симого переменного
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1
, , ... , , ... ( ),
Nn
U tx U tx U tx U tx U t x x U y
γ
≡≡≡ ==+++=
где
1
... , .
n
yt x x y d
γ
=+++ <
Подставим предполагаемое решение в систему (3.59) и получим, что
функция ()
Uy должна удовлетворять уравнению
()
dU dU
A
yNn NUm
dy dy
γ
⎛⎞
=++
⎜⎟
⎝⎠
, (3.65)
где
()
1
M
Ay
y
d
=
−
. 
    ∂   α′ ∂α1     ∂α n
D0 = , D = α1 ×...× α n . Тогда, дифференцируя систему (3.48), полу-
    ∂t     ∂x1     ∂xn
чаем
                          ⎛ N n k            ∂u j N                                   ⎞
 D D D0ui ( t , x ) = D D ⎜ ∑∑ aij ( t , x )
    α/   k
         0
                               α/   k
                                    0            + ∑ bij ( t , x ) u j + fi ( t , x ) ⎟ . (3.63)
                          ⎝ j =1 k =1        ∂xk j =1                                 ⎠
Возьмем соответствующую производную и для мажорирующей системы
                                             ⎡             ⎡ N n ∂U j N              ⎤⎤
             Dα D0k D0U i ( t , x ) = Dα D0k ⎢ A ( t , x ) ⎢ ∑∑            + ∑U j + m⎥ ⎥ .
               /                        /
                                                                                                         (3.64)
                                             ⎢⎣            ⎣ j =1 k =1 ∂xk   j =1    ⎦ ⎥⎦
В правых частях (3.63) и (3.64) содержатся производные от ui ( t , x ) , U i ( t , x )
только вида Dα с α 0 ≤ k , а для коэффициентов, определяемых ими, оценка
(3.62) выполнена по предположению индукции.
      Так как правая часть равенства (3.64) содержит только неотрица-
тельные члены, превосходящие модули соответствующих членов в (3.63)
при x = 0, t = 0 , а левые части (3.63) и (3.64) выражаются через правые, то
мы имеем
                                            /                      /
                                    Dα D0k +1ui        t =0   ≤ Dα D0k +1U i   t =0   .
                                                       x =0                    x =0

         Таким образом, неравенства (3.62) доказаны.
         Теперь докажем, что аналитические функции U i ( t , x ) , являющиеся
решением задачи (3.59), (3.60), существуют в некоторой окрестности точки
t = 0, x = 0 .
     Будем искать решение системы (3.59) в виде функции одного незави-
симого переменного
     U1 ( t , x ) ≡ U 2 ( t , x ) ≡ ... ≡ U N ( t , x ) = U ( t , x ) = U ( tγ + x1 + ... + xn ) = U ( y ),
где y = tγ + x1 + ... + xn , y < d .
     Подставим предполагаемое решение в систему (3.59) и получим, что
функция U ( y ) должна удовлетворять уравнению
                                                dU           ⎛    dU          ⎞
                                        γ          = A ( y ) ⎜ Nn    + NU + m ⎟ ,                        (3.65)
                                                dy           ⎝    dy          ⎠
                  M
где A( y ) =               .
                1− y
                       d
                                                              36

Страницы